11. Sınıf Fizik - 1. Ünite: Kuvvet ve Hareket - Ölçme ve Değerlendirme

Sayfalara Git

Ünite İçeriğine Dön

Ölçme ve Değerlendirme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 120

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Ölçme ve Değerlendirme Soruları

Soru 1: Cetvel ve Tepki Süresi Deneyi

Serbest düşme ve tepki süresi

Bir deneyde Elif cetveli üst kısmından tutuyor, Ali de elini görseldeki gibi cetvelin 0 cm yazan kısmının hizasında konumlandırıyor. Elif Ali'ye söylemeden cetveli bırakıyor ve Ali yakalamaya çalışıyor. Elif cetveli bıraktığı anda Ali parmaklarını birleştirmeye başlıyor. Ali'nin parmaklarını birleştirerek cetveli yakalama süresi tepki süresi olarak adlandırılıyor. Ali'nin cetveli yakaladığı noktada 6 cm değeri yazıyor.

Ali'nin cetveli yakaladığı noktada yazan değerin 8 cm olması için

I. Ali'nin tepki süresinin artmasını sağlamak,

II. deneyde kütlesi daha fazla olan bir cetvel kullanmak,

III. yer çekimi ivmesinin daha az olduğu bir yerde deneyi tekrarlamak

işlemlerinden hangileri ayrı ayrı yapılabilir?

(Hava direncini ihmal ediniz. Yer çekimi ivmesini, Elif ve Ali'nin ellerinin yüksekliklerini sabit kabul ediniz.)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

Çözüm:

Temel Bilgi:

Cetvel serbest bırakıldığında serbest düşme hareketi yapar. Düşme mesafesi: h = ½ · g · t²

Ali'nin tepki süresi t, cetvelin düşme mesafesi h ile doğru orantılıdır: h = ½ · g · t²

Başlangıçta h = 6 cm = 0,06 m. Hedef: h = 8 cm = 0,08 m.

I. Ali'nin tepki süresinin artmasını sağlamak:

h = ½ · g · t² bağıntısına göre, t (tepki süresi) artarsa h (düşme mesafesi) de artar. Yani tepki süresi artırılırsa cetvel daha fazla düşer ve 8 cm değeri okunabilir.

I. işlem yapılabilir.

II. Deneyde kütlesi daha fazla olan bir cetvel kullanmak:

Serbest düşme hareketinde düşme süresi ve mesafesi kütleden bağımsızdır. (Hava direnci ihmal edildiği için) Cetvelin kütlesi değiştirilse bile düşme mesafesi değişmez.

II. işlem yapılamaz.

III. Yer çekimi ivmesinin daha az olduğu bir yerde deneyi tekrarlamak:

h = ½ · g · t² bağıntısına göre, g (yer çekimi ivmesi) azalırsa, aynı t süresinde h (düşme mesafesi) azalır. Yani g azaltılırsa cetvel daha az düşer. Bu durumda 8 cm yerine daha küçük bir değer okunur. İstenen 8 cm değil, daha küçük bir değer olur.

III. işlem yapılamaz. (Amaç 8 cm elde etmek olduğu için g azaltmak ters etki yapar.)

Cevap: Sadece I. işlem yapılabilir.
Doğru Seçenek: A) Yalnız I

Soru 2: Kepli Düşey Atış Deneyi

Düşey atışta mesafe ve sürat ilişkisi

Eliz, mezuniyet töreninin sonunda elindeki kepi görseldeki gibi K noktasından düşey yukarı yönde fırlatıyor. Kepin atıldıktan sonra L'den ilk kez geçme süresi t, ikinci kez geçme süresi 3t oluyor. Kep, atıldıktan sonra hareketinin en üst noktası olan M'den geçerek N noktasına 5t sürede ulaşıyor.

Buna göre

I. K ile L arasındaki mesafe L ile M arasındaki mesafenin üç katıdır.

II. K ile N arasındaki mesafe L ile M arasındaki mesafenin beş katıdır.

III. Kepin N noktasındaki sürati K'dekinin 2,5 katıdır.

yargılarından hangileri doğrudur?

(Hava direncini ihmal ediniz ve yer çekimi ivmesini sabit kabul ediniz.)

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

Çözüm: 1.Yol

Hareket Analizi (Düzeltilmiş):

Kep, K noktasından yukarı doğru fırlatılıyor. Verilen bilgilere göre:

K → L (yükseliş, ilk geçiş): t sürede
L → M (tepe noktası): t sürede (simetri)
M → L (iniş, ikinci geçiş): t sürede (toplam 3t)
M → N (iniş): 2t sürede
Toplam K → N: 5t sürede

Hız Analizi:

M'ye ulaşma süresi = 2t (K'dan itibaren)
K'daki ilk hız: v₀ = g · (2t) = 2gt
L'deki hız: v_L = v₀ − g·t = 2gt − gt = gt
N'deki hız: v_N = g · (3t) = 3gt (aşağı yönlü)

I. Yargı: K ile L arasındaki mesafe, L ile M arasındaki mesafenin üç katıdır.

K → L (t sürede):

h_KL = v₀·t − ½·g·t² = 2gt·t − ½·g·t² = 2gt² − 0,5gt² = 1,5gt²

L → M (t sürede):

h_LM = v_L·t − ½·g·t² = gt·t − 0,5gt² = gt² − 0,5gt² = 0,5gt²

Oran: h_KL / h_LM = 1,5gt² / 0,5gt² = 3

I. yargı DOĞRUDUR.

II. Yargı: K ile N arasındaki mesafe, L ile M arasındaki mesafenin beş katıdır.

K → N toplam yer değiştirme (5t sürede):

h_KN = v₀·(5t) − ½·g·(5t)² = 2gt·5t − ½·g·25t² = 10gt² − 12,5gt² = −2,5gt²

Bu, N'nin K'nın 2,5gt² altında olduğunu gösterir. Mesafe büyüklüğü = 2,5gt²

Oran: |h_KN| / h_LM = 2,5gt² / 0,5gt² = 5

II. yargı DOĞRUDUR.

III. Yargı: Kepin N noktasındaki sürati, K'dekinin 2,5 katıdır.

K'daki sürat: |v_K| = 2gt

N'deki sürat: |v_N| = 3gt (aşağı yönlü)

Oran: |v_N| / |v_K| = 3gt / 2gt = 1,5

III. yargı YANLIŞTIR. (2,5 katı değil, eşittir.)

Çözüm: 2.Yol

Sonuç Tablosu:

Yargı	Sonuç	Gerekçe
I	Doğru	h_KL / h_LM = 1,5gt² / 0,5gt² = 3
II	Doğru	\|h_KN\| / h_LM = 2,5gt² / 0,5gt² = 5
III	Yanlış	\|v_N\| / \|v_K\| = 2gt / 2gt = 1

Cevap: Doğru yargılar I ve II'dir.
Doğru Seçenek: C) I ve II

3. Soru: Kule Atlama Sporcuları

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Ölçme ve Değerlendirme

Sayfa 121

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Serbest Düşme - Hız ve İvme Karşılaştırması

Soru 3: Kule Atlama Sporcuları

Serbest düşme, hız ve ivme karşılaştırması

Kule atlama sporcuları olan Önder ve Şeref, görseldeki gibi havuzdan sırasıyla 9h ve 8h yükseklikteki platformların ucunda sabit duruyorlar. Önder, platformun ucundan ilk hızsız olarak kendini havuza bıraktığında t süre sonra K seviyesinden ϑ hızı ile geçiyor. Önder K seviyesinden geçerken Şeref de kendini havuza ilk hızsız olarak bırakıyor. (Hava direncini ihmal ediniz.)

Yer çekimi ivmesi sabit ve g büyüklüğünde olduğuna göre Önder ve Şeref'in

a) M seviyesine ulaşma süreleri oranını hesaplayınız.

Çözüm:

Kurulum ve Verilenler:

Şekle göre, Önder'in platformu ile su arasındaki toplam yükseklik 9h'dir ve bu toplam, görseldeki ardışık parçalara ayrılır:

Platform → K arası: h
K → L arası: 3h
L → M (su yüzeyi) arası: 5h

Buna göre, su yüzeyini (M) referans (0) alırsak:

K seviyesi: 9h − h = 8h
L seviyesi: 8h − 3h = 5h
M seviyesi: 0

Şeref'in platformu 8h yükseklikte olduğu için, tam olarak K seviyesinin yüksekliğine denk gelir.

Hesaplama:

Her sporcu kendi platformundan ilk hızsız düştüğü için: H = ½ · g · t² → t = √(2H/g)

Önder (toplam düşüş 9h):

t_Önder = √(2·9h/g) = 3·√(2h/g)

Şeref (toplam düşüş 8h):

t_Şeref = √(2·8h/g) = 2√2·√(2h/g)

Oran:

t_Önder / t_Şeref = 3 / (2√2) = 3√2 / 4 ≈ 1,06

Cevap: Önder ve Şeref'in M seviyesine ulaşma süreleri oranı t_Önder / t_Şeref = 3√2 / 4 ≈ 1,06'dır. Önder, daha yüksekten (9h) düştüğü için kendi düşüş süresi Şeref'inkinden biraz daha uzundur.

b) Birim zamandaki hız değişimlerini karşılaştırınız.

Çözüm:

Birim Zamandaki Hız Değişimi (İvme):

Hava direnci ihmal edildiğinden her iki sporcu da serbest düşme yapmaktadır. Birim zamandaki hız değişimi tam olarak ivmedir (a = Δv/Δt).

a_Önder = a_Şeref = g

Cevap: Kütleleri, başlangıç yükseklikleri veya hızları ne olursa olsun, ikisinin de birim zamandaki hız değişimi birbirine eşittir (g kadar) — çünkü serbest düşmede ivme kütleden ve konumdan bağımsızdır.

c) Aralarındaki düşey uzaklık hareket süresince değişir mi? Açıklayınız.

Çözüm:

Hareket Analizi:

Şeref'in düşmeye başladığı an (Önder K'den geçerken), ikisi de aynı yükseklikte (8h) bulunur — bu andaki aralarındaki uzaklık sıfırdır. Ancak bu anda Önder'in hızı ϑ iken Şeref'in hızı 0'dır.

İkisinin ivmesi eşit (g) olduğundan, aralarındaki hız farkı her an sabit kalır:

Δv = v_Önder - v_Şeref = ϑ (sabit)

Hız farkı sabit ve sıfırdan farklı olduğu için, aralarındaki düşey uzaklık zamanla doğrusal olarak artar:

Δx(t) = ϑ · t

Cevap: Evet, değişir (sürekli artar). İkisi arasındaki mesafe hareket boyunca sürekli büyür, sabit kalmaz.

ç) K, L, M seviyelerindeki ivmelerini aşağıdaki tabloya g cinsinden yazınız.

Çözüm:

Serbest düşmede ivme her zaman ve her noktada g'ye eşittir (hava direnci yok).

İvme	K	L	M
Önder'in ivmesi	g	g	g
Şeref'in ivmesi	g	g	g

Cevap: Tabloda görüldüğü gibi her iki sporcunun da tüm seviyelerdeki ivmesi g'dir.

d) K, L, M seviyelerindeki hızlarını aşağıdaki tabloya ϑ cinsinden yazınız.

Çözüm:

Hız Değerlerinin Hesaplanması:

Serbest düşmede hız: v = √(2g · düşüş mesafesi). Önder'in K'deki hızı ϑ = √(2gh) olarak verilmiştir.

Önder için (kendi platformundan düşme mesafeleri: K'ye h, L'ye 4h, M'ye 9h):

v_K = √(2gh) = ϑ
v_L = √(2g·4h) = 2√(2gh) = 2ϑ
v_M = √(2g·9h) = 3√(2gh) = 3ϑ

Şeref için (kendi platformu 8h'de, K'ye 0, L'ye 3h, M'ye 8h düşüş mesafesi):

v_K = 0 (henüz düşmeye yeni başlıyor)
v_L = √(2g·3h) = √3·√(2gh) = √3·ϑ
v_M = √(2g·8h) = 2√2·√(2gh) = 2√2·ϑ

Hız	K	L	M
Önder'in hızı	ϑ	2ϑ	3ϑ
Şeref'in hızı	0	√3·ϑ	2√2·ϑ

Not: Önder'in M'deki hızı (3ϑ) ile Şeref'in M'deki hızının (2√2·ϑ) oranı, a) şıkkındaki süre oranıyla aynıdır (3 : 2√2) — bu, serbest düşmede hem sürenin hem de son hızın düşüş mesafesinin karekökü ile orantılı olmasından kaynaklanır.

e) Hız-zaman, ivme-zaman ve konum-zaman grafiklerini aşağı yönü negatif (-) kabul ederek aşağıdaki tabloya çiziniz.

Çözüm:

Sporcu \ Grafik	Hız-Zaman Grafiği	İvme-Zaman Grafiği	Konum-Zaman Grafiği
Önder
Şeref

Grafik Yorumu: Aşağı yön negatif kabul edildiği için tüm hız ve ivme değerleri negatiftir. Her iki sporcunun da ivme-zaman grafiği sabit (-g) doğrusudur. Hız-zaman grafikleri doğrusal olarak negatif yönde artar. Konum-zaman grafikleri ise aşağı doğru parabollerdir.

Serbest Düşme - Özet

İvme

a = g (sabit)

Hız

v = g · t = √(2gh)

Yol

h = ½ · g · t²

Önemli

İvme kütleye ve konuma bağlı değildir.

Hatırlatma: Serbest düşmede tüm cisimler, kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme (g) ile düşer. Hava direnci ihmal edildiğinde düşme süresi yalnızca yüksekliğe bağlıdır.

4. Soru: Dünya ve Mars'ta Serbest Düşme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Ölçme ve Değerlendirme

Sayfa 122

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Serbest Düşme - Kütle ve Yer Çekimi İvmesi İlişkisi

Soru 4: Dünya ve Mars'ta Serbest Düşme Deneyi

Öğrenci çıkarımlarının değerlendirilmesi

Dünya ve Mars'ta hava direncinin önemsenmediği bir ortamda aynı yükseklikten ilk hızsız serbest bırakılan 1 kg ve 2 kg kütlelerindeki iki cismin yere düşme hareketlerini incelemek için iki deney düzeneği tasarlanıyor. Yapılan deneylerde aşağıdaki sonuçlara ulaşılıyor:

Dünya'da yapılan deneyde her iki cisim de eşit sürede ve 3 s'de yere düşüyor.
Mars'ta yapılan deneyde her iki cisim de eşit sürede ve 5 s'de yere düşüyor.

Deneylerin sonuçlarına göre öğrenciler aşağıdaki çıkarımları yapıyor:

Merve:

Cisimlerin kütlesi ne kadar büyükse yere düşme süresi o kadar kısa olur.

Elif:

Her iki gezegende de kütleler farklı olsa da cisimler aynı sürede düşüyor, diğer bir deyişle cisimlerin yere düşme süresi kütleye bağlı değildir.

Ahmet:

Mars'ta cisimlerin düşme süresi Dünya'ya göre daha uzundur. Bu da Mars'ın yer çekimi ivmesinin daha küçük olduğunu gösteriyor.

Buna göre hangi öğrencilerin çıkarımları deney sonuçlarıyla uyumludur?

A) Yalnız Elif B) Yalnız Merve C) Ahmet ve Elif D) Ahmet ve Merve E) Ahmet, Elif ve Merve

Çözüm:

Temel Bilgi:

Hava direncinin ihmal edildiği ortamda serbest düşme hareketinde, cisimlerin düşme süresi kütleye bağlı değildir. Düşme süresi yalnızca yüksekliğe ve yer çekimi ivmesine bağlıdır:

h = ½ · g · t² → t = √(2h/g)

Merve'nin Çıkarımı:

"Cisimlerin kütlesi ne kadar büyükse yere düşme süresi o kadar kısa olur."

Deneyde 1 kg ve 2 kg'lık cisimler aynı sürede düşmüştür. Bu, kütlenin düşme süresini etkilemediğini gösterir. Merve'nin çıkarımı deney sonuçlarıyla uyumlu değildir.

Merve'nin çıkarımı YANLIŞTIR.

Elif'in Çıkarımı:

"Her iki gezegende de kütleler farklı olsa da cisimler aynı sürede düşüyor, diğer bir deyişle cisimlerin yere düşme süresi kütleye bağlı değildir."

Deneyde Dünya'da da Mars'ta da farklı kütleli cisimler aynı sürede düşmüştür. Elif'in çıkarımı deney sonuçlarıyla uyumludur.

Elif'in çıkarımı DOĞRUDUR.

Ahmet'in Çıkarımı:

"Mars'ta cisimlerin düşme süresi Dünya'ya göre daha uzundur. Bu da Mars'ın yer çekimi ivmesinin daha küçük olduğunu gösteriyor."

Deneyde Dünya'da düşme süresi 3 s, Mars'ta 5 s'dir. Mars'ta daha uzun sürede düştüğü için Mars'ın yer çekimi ivmesi daha küçüktür. Ahmet'in çıkarımı deney sonuçlarıyla uyumludur.

Ahmet'in çıkarımı DOĞRUDUR.

Sonuç Tablosu:

Öğrenci	Çıkarımı	Deneyle Uyumlu mu?
Merve	Kütle büyükse düşme süresi kısa olur.	Uyumsuz
Elif	Düşme süresi kütleye bağlı değildir.	Uyumlu
Ahmet	Mars'ta yer çekimi ivmesi daha küçüktür.	Uyumlu

Cevap: Deney sonuçlarıyla uyumlu çıkarımlar Elif ve Ahmet'e aittir.
Doğru Seçenek: C) Ahmet ve Elif

Serbest Düşme - Önemli Noktalar

Kütle Bağımsızlığı

Düşme süresi kütleye bağlı değildir.

Yer Çekimi İvmesi

g büyükse düşme süresi kısa, g küçükse düşme süresi uzundur.

Formül

t = √(2h/g)

Hatırlatma: Serbest düşmede tüm cisimler, kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme ile düşer. Farklı gezegenlerde yer çekimi ivmesi farklı olduğu için düşme süreleri de farklıdır.

5. Soru: Masa Tenisi ve Eğik Atış

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Ölçme ve Değerlendirme

Sayfa 123

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Eğik Atış Hareketi - Uçuş Süresi, Maksimum Yükseklik ve Menzil

Soru 5: Tuğçe ve Burcu'nun Masa Tenisi Maçı

Eğik atış hareketi problemleri

Tuğçe ve Burcu, 274 cm uzunluğunda olan ve tam orta noktasında file bulunan masada masa tenisi maçı yapıyorlar.

Tuğçe, şekildeki gibi tenis masasının yan kenarından pinpon topuna 5 m/s'lik hızla vuruyor. Bu vuruş sırasında Tuğçe'nin elindeki raket masayla 37° açı yapıyor. Burcu, bu atışı masanın kenarından şekildeki gibi x kadar uzaklıkta bulunan bir noktada raketiyle karşılıyor ve Tuğçe'nin sayı almasını engelliyor. Tuğçe ve Burcu'nun raketi topa aynı yükseklikte temas ediyor. (g = 10 m/s² alınız. Hava direncini ihmal ediniz. sin37° = cos53° = 0,6 ve sin53° = cos37° = 0,8)

Buna göre

a) Topun havada kalma süresini bulunuz.

Çözüm:

Veriler:

Başlangıç hızı: v₀ = 5 m/s
Açı: α = 37°
sin37° = 0,6
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

Hesaplama:

Topun düşey ilk hızı: v₀ᵧ = v₀ · sin37° = 5 · 0,6 = 3 m/s

Uçuş süresi: t_uçuş = 2 · v₀ᵧ / g

t_uçuş = 2 · 3 / 10 = 0,6 s

Cevap: Topun havada kalma süresi 0,6 s'dir.

b) Topun masa yüzeyinden çıkabileceği maksimum yüksekliği hesaplayınız.

Çözüm:

Hesaplama:

Maksimum yükseklik: h_max = v₀ᵧ² / (2g)

h_max = (3)² / (2 · 10)

h_max = 9 / 20 = 0,45 m = 45 cm

Cevap: Topun masa yüzeyinden çıkabileceği maksimum yükseklik 45 cm'dir.

c) Burcu'nun topu karşıladığı x mesafesinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Hesaplama:

Topun yatay ilk hızı: v₀ₓ = v₀ · cos37° = 5 · 0,8 = 4 m/s

Menzil: x = v₀ₓ · t_uçuş

x = 4 · 0,6

x = 2,4 m = 240 cm

Cevap: Burcu'nun topu karşıladığı x mesafesi 240 cm'dir.

ç) Tuğçe topu aynı hızla ama masayla 53° yapacak şekilde atsaydı Burcu'nun topu karşılayabileceği x mesafesi kaç cm olurdu?

Çözüm:

Veriler:

Başlangıç hızı: v₀ = 5 m/s
Açı: α = 53°
sin53° = 0,8
cos53° = 0,6
g = 10 m/s²

Hesaplama:

Düşey ilk hız: v₀ᵧ = 5 · 0,8 = 4 m/s

Yatay ilk hız: v₀ₓ = 5 · 0,6 = 3 m/s

Uçuş süresi: t = 2 · 4 / 10 = 0,8 s

Menzil: x = v₀ₓ · t = 3 · 0,8

x = 2,4 m = 240 cm

Cevap: 53° açıyla atış yapılsaydı menzil yine 240 cm olurdu. Bunun nedeni, 37° ve 53° açılarının birbirini 90°'ye tamamlayan açılar olmasıdır. Bu tür açılarda menzil aynıdır.

Ek Bilgi: sin(2·37°) = sin(2·53°) = sin(74°) = sin(106°) olduğu için her iki açıda da menzil aynıdır. Ancak maksimum yükseklik ve uçuş süresi farklı olur.

Eğik Atış - Önemli Formüller

Uçuş Süresi

t = 2 · v₀ᵧ / g

Maks. Yükseklik

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

Menzil

x = v₀ₓ · t

Önemli

37° ve 53° aynı menzili verir.

Hatırlatma: Eğik atışta menzil, v₀² · sin(2α) / g bağıntısı ile bulunur. Birbirini 90°'ye tamamlayan açılar (örn. 37° ve 53°) aynı menzili verir.

6-7. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Ölçme ve Değerlendirme

Sayfa 124

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Yatay Atış ve Serbest Düşme Problemleri

Soru 6: Peyzaj Mimarının Şelale Planı

Yatay atış hareketi ve ölçekli model

Bir peyzaj mimarı, şehir parkında kullanılmak üzere şekildeki gibi yapay bir şelale planlıyor. Bu plana göre 2 m/s süratle akan su, 5 m yüksekliğindeki düşey bir duvarın tepesindeki yatay bir kanalın ucundan çıkarak aşağıdaki göle düşüyor. (Hava direncini ihmal ediniz ve g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre

a) Şelalenin altından geçmesi planlanan yaya yolunun genişliği en fazla kaç m olmalıdır?

Çözüm:

Veriler:

Yatay hız: v₀ₓ = 2 m/s
Yükseklik: h = 5 m
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

1. Adım: Düşme süresini bulalım

h = ½ · g · t²

5 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 1 → t = 1 s

2. Adım: Yatayda alınan yolu bulalım

x = v₀ₓ · t

x = 2 · 1 = 2 m

Cevap: Şelalenin altından geçmesi planlanan yaya yolunun genişliği en fazla 2 m olmalıdır.

b) Şehir meclisindeki sunum için planın 1/10 ölçekli bir modelini yapmak isteyen mimar, suyun hızını kaç m/s olarak ayarlamalıdır?

Çözüm:

Ölçekli Model Analizi:

Model 1/10 ölçekli olduğu için, modeldeki yükseklik gerçek yüksekliğin 1/10'u olacaktır:

h_model = 5 / 10 = 0,5 m

Modelde de aynı fizik kuralları geçerlidir (yer çekimi ivmesi aynıdır). Düşme süresi:

h_model = ½ · g · t_model²

0,5 = ½ · 10 · t_model² = 5t_model²

t_model² = 0,1 → t_model = √0,1 ≈ 0,316 s

Modeldeki Yatay Hız:

Gerçekte suyun menzili 2 m'dir. Modelde menzil de 1/10 ölçekli olacaktır:

x_model = 2 / 10 = 0,2 m

x_model = v_model · t_model

0,2 = v_model · 0,316

v_model = 0,2 / 0,316 ≈ 0,63 m/s

Cevap: Mimar, modelde suyun hızını yaklaşık 0,63 m/s olarak ayarlamalıdır.

Kısa Yol: Ölçek faktörü k = 1/10 olduğu için, hızların oranı √k = √(1/10) ≈ 0,316'dır. Gerçek hız 2 m/s olduğundan, model hızı: v_model = 2 · 0,316 ≈ 0,63 m/s bulunur.

Soru 7: Farklı Cisimlerin Serbest Düşme ve Atış Hareketi

Doğru/Yanlış değerlendirmesi

Hava sürtünmesinin olmadığı bir ortamda farklı kütleli K, L, M, N, P ve R cisimlerinin aynı yükseklikten serbest düşme hareketi yapmaları sağlanıyor.

K cisminin ilk hızı sıfır ve diğer cisimlerin ilk hız büyüklükleri eşit olup ϑ kadardır. Tüm cisimlerin harekete başlama anları eşittir.

Bu veriler ışığında aşağıda verilen öğrenci yorumlarından doğru olanların karşısındaki yay ayracın içine "D", yanlış olanlarınkine "Y" yazınız.

Hasan: K ile P cisimleri aynı anda yere ulaşır.

Filiz: L cisminin yere çarpma hızı, M cisminin yere çarpma hızından büyük olur.

Fatih: Kütlesi en büyük olan cisim yere en önce ulaşır.

Ayşe: N ile R cisimlerinin yere çarpma hızlarının büyüklükleri eşit olur.

Nisa: M cismi en uzun hareket süresine sahiptir.

Emir: L cismi en kısa hareket süresine sahiptir.

Esat: Tüm cisimlerin birim zamandaki hız değişimleri eşittir.

Çözüm Açıklaması:

Hasan (D): K'nın ilk hızı sıfır, P'nin ilk hızı yataydır. Düşey hareket açısından her ikisi de aynı yükseklikten serbest düşer. Bu nedenle aynı anda yere ulaşırlar.
Filiz (Y): L'nin ilk hızı aşağı yönlüdür, M'nin ilk hızı yukarı yönlüdür. L zaten aşağı yönde hareket ettiği için yere çarpma hızı daha büyük olur. Bu nedenle ifade doğrudur. Ancak sorunun cevabı Y olarak işaretlenmiştir. Burada bir tutarsızlık olabilir.
Fatih (Y): Hava direnci olmadığı için düşme süresi kütleye bağlı değildir.
Ayşe (D): N ve R cisimlerinin ilk hız büyüklükleri eşit ve düşey bileşenleri aynıdır (N'nin düşey hızı yukarı, R'nin düşey hızı aşağı yönlüdür). Yere çarpma hızları eşit olur.
Nisa (D): M cismi yukarı doğru atıldığı için önce yükselir, sonra düşer. Bu nedenle havada kalma süresi en uzundur.
Emir (Y): L cismi aşağı doğru atıldığı için en kısa sürede yere ulaşır. Bu nedenle ifade doğrudur. Ancak sorunun cevabı Y olarak işaretlenmiştir. Burada da bir tutarsızlık olabilir.
Esat (D): Tüm cisimler yalnızca yer çekimi etkisindedir. Bu nedenle birim zamandaki hız değişimleri (ivmeleri) eşittir ve g büyüklüğündedir.

Serbest Düşme ve Atış - Önemli Noktalar

Düşme Süresi

Yalnızca yüksekliğe ve g'ye bağlıdır.

Çarpma Hızı

İlk hızın büyüklüğüne ve yönüne bağlıdır.

Yukarı Atış

En uzun havada kalma süresine sahiptir.

Aşağı Atış

En kısa havada kalma süresine sahiptir.

Hatırlatma: Hava direnci ihmal edildiğinde tüm cisimlerin ivmesi g'dir. Havada kalma süresi, ilk hızın düşey bileşenine bağlıdır. Kütle, düşme süresini etkilemez.

8. Alıştırma: Top Atışları ve Eğik Atış Hareketi

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.6. Düzgün Çembersel Hareket

Sayfa 125

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Eğik Atış Hareketi - Bileşenler, Süre, Menzil ve Maksimum Yükseklik

8. Alıştırma: Top Atışları

Farklı açılarda eğik atış hareketinin incelenmesi

Bir gösteri alanında şekildeki gibi yatayla farklı açılarda üç adet top atışı yapılıyor. Güllelerin toptan çıkış hızlarının büyüklükleri eşit olup 100 m/s'dir. Topun yatayla yaptığı açı I. atış sırasında 37°, II. atış sırasında 45° ve III. atış sırasında 53°'dir. Yer çekimi ivmesi 10 m/s² olup hava direnci önemsizdir.

(sin37° = cos53° = 0,6; sin53° = cos37° = 0,8; sin45° = cos45° = √2/2)

Bu verilerden yola çıkarak aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Her atış için güllelerin toptan çıkış hızlarının yatay ve düşey bileşenlerini hesaplayınız ve aşağıdaki tabloya yazınız.

Çözüm:

Hesaplamalar:

I. Atış (37°):

v₀ₓ = v₀ · cos37° = 100 · 0,8 = 80 m/s
v₀ᵧ = v₀ · sin37° = 100 · 0,6 = 60 m/s

II. Atış (45°):

v₀ₓ = v₀ · cos45° = 100 · (√2/2) = 50√2 ≈ 70,71 m/s
v₀ᵧ = v₀ · sin45° = 100 · (√2/2) = 50√2 ≈ 70,71 m/s

III. Atış (53°):

v₀ₓ = v₀ · cos53° = 100 · 0,6 = 60 m/s
v₀ᵧ = v₀ · sin53° = 100 · 0,8 = 80 m/s

	I. Atış	II. Atış	III. Atış
Yatay Bileşen v₀ₓ (m/s)	80	50√2 ≈ 70,71	60
Düşey Bileşen v₀ᵧ (m/s)	60	50√2 ≈ 70,71	80

Cevap: Tablo yukarıdaki gibi doldurulur. Dikkat edilirse I. ve III. atışlarda yatay ve düşey bileşenler yer değiştirmiştir (80-60 ve 60-80). Bu, 37° ve 53°'nin birbirini 90°'ye tamamlayan açılar olmasından kaynaklanır.

b) Her atış için güllelerin havada kalma sürelerini hesaplayınız ve aşağıdaki tabloya yazınız.

Çözüm:

Formül:

t_uçuş = 2 · v₀ᵧ / g

Hesaplamalar:

I. Atış: t = 2 · 60 / 10 = 12 s
II. Atış: t = 2 · 70,71 / 10 ≈ 14,14 s
III. Atış: t = 2 · 80 / 10 = 16 s

	I. Atış	II. Atış	III. Atış
Havada Kalma Süreleri (s)	12	10√2 ≈ 14,14	16

Cevap: Uçuş süresi, düşey ilk hız (v₀ᵧ) ile doğru orantılıdır. Bu nedenle en büyük açı olan 53°'de (III. atış) en uzun süre elde edilmiştir.

c) Her atış için güllelerin yatayda aldıkları yolları hesaplayınız ve aşağıdaki tabloya yazınız.

Çözüm:

Formül:

x_menzil = v₀ₓ · t_uçuş

Hesaplamalar:

I. Atış: x = 80 · 12 = 960 m
II. Atış: x = 70,71 · 14,14 ≈ 1000 m
III. Atış: x = 60 · 16 = 960 m

	I. Atış	II. Atış	III. Atış
Yatayda Alınan Yollar (m)	960	1000	960

Cevap: Menzil, sin(2α) ile doğru orantılıdır. sin(2·37°) = sin(74°) ≈ 0,96, sin(2·45°) = sin(90°) = 1, sin(2·53°) = sin(106°) ≈ 0,96'dır. Bu nedenle 45°'de (II. atış) en büyük menzil elde edilirken, 37° ve 53°'de (I. ve III. atışlar) menziller eşit ve daha küçüktür.

ç) Her atış için güllelerin çıktıkları maksimum yükseklikleri hesaplayınız ve aşağıdaki tabloya yazınız.

Çözüm:

Formül:

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

Hesaplamalar:

I. Atış: h = (60)² / (2·10) = 3600 / 20 = 180 m
II. Atış: h = (70,71)² / (2·10) = 5000 / 20 = 250 m
III. Atış: h = (80)² / (2·10) = 6400 / 20 = 320 m

	I. Atış	II. Atış	III. Atış
Maksimum Yükseklikler (m)	180	250	320

Cevap: Maksimum yükseklik, düşey ilk hızın karesi (v₀ᵧ²) ile doğru orantılıdır. Açı büyüdükçe düşey hız bileşeni arttığı için en büyük yükseklik 53°'de (III. atış) elde edilmiştir.

Eğik Atış - Önemli Formüller ve İlişkiler

Yatay Bileşen

v₀ₓ = v₀ · cosα

Düşey Bileşen

v₀ᵧ = v₀ · sinα

Uçuş Süresi

t = 2 · v₀ᵧ / g

Menzil

x = v₀ₓ · t = v₀²·sin(2α)/g

Hatırlatma: Maksimum menzil 45°'de elde edilir. Birbirini 90°'ye tamamlayan açılar (37° ve 53° gibi) aynı menzili verir. Ancak maksimum yükseklik ve uçuş süresi bu açılarda farklıdır.

9. Alıştırma: K ve L Topları

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Serbest Düşme ve Yatay Atış

Sayfa 126-127

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Serbest Düşme ve Yatay Atış Hareketi Karşılaştırması

9. Alıştırma: K ve L Topları

Serbest düşme ve yatay atış problemleri

Hava sürtünmesinin önemsenmediği bir ortamda kütleleri farklı K ve L toplarından K topu ilk hızsız, L topu ilk hız büyüklüğü ϑ olacak şekilde aynı anda harekete başlıyor. K topu harekete başladıktan 3 s sonra yere ulaşırken L topu yere 50 m/s hız büyüklüğüyle çarpıyor. (g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre

a) K topunun harekete başladığı noktanın yerden yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

Veriler:

K topu: İlk hızsız serbest düşme
K topunun düşme süresi: t = 3 s
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

Hesaplama:

h = ½ · g · t²

h = ½ · 10 · (3)²

h = 5 · 9 = 45 m

Cevap: K topunun harekete başladığı noktanın yerden yüksekliği 45 m'dir.

b) K topunun yere çarptığı andaki hızının büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm:

Hesaplama:

v = g · t

v = 10 · 3

v = 30 m/s

Cevap: K topunun yere çarptığı andaki hızının büyüklüğü 30 m/s'dir.

c) K topunun konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Konum - Zaman (h-t)

Hız - Zaman (v-t)

Yorum: K topu serbest düşme yaptığı için konum-zaman grafiği parabolik, hız-zaman grafiği doğrusaldır. Hız her saniye 10 m/s artar.

ç) L topunun ϑ hızının büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm:

Analiz:

L topu yatay atış hareketi yapar. Yatay atışta düşme süresi, sadece yüksekliğe bağlıdır ve K topuyla aynı yükseklikten atıldığı için düşme süresi de aynıdır: t = 3 s.

L topunun yere çarpma hızı 50 m/s olarak verilmiştir. Yere çarpma hızı, yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamıdır:

v_çarpma² = v₀ₓ² + v_y²

Düşey hız bileşeni: v_y = g · t = 10 · 3 = 30 m/s

Yatay hız bileşeni: v₀ₓ = ϑ

50² = ϑ² + 30²

2500 = ϑ² + 900

ϑ² = 1600

ϑ = 40 m/s

Cevap: L topunun ilk hızı (ϑ) 40 m/s'dir.

d) L topunun yatayda aldığı yolu hesaplayınız.

Çözüm:

Hesaplama:

x = v₀ₓ · t

x = 40 · 3

x = 120 m

Cevap: L topunun yatayda aldığı yol 120 m'dir.

e) L topunun konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

yatay Hız - Zaman (v_x-t)

Düşey Hız - Zaman (v_y-t)

Yorum: L topu yatay atış yaptığı için yatay konum-zaman grafiği doğrusal artar (sabit yatay hız). Düşey hız-zaman grafiği ise doğrusal artar (yer çekimi ivmesi etkisiyle düşey hız sürekli artar).

Serbest Düşme ve Yatay Atış - Özet

Serbest Düşme (K)

h = ½·g·t²
v = g·t

Yatay Atış (L)

x = v₀·t
v_y = g·t

Yere Çarpma Hızı

v = √(v₀² + v_y²)

Önemli

Düşme süresi kütleye ve yatay hıza bağlı değildir.

Hatırlatma: Aynı yükseklikten serbest bırakılan bir cisim ile yatay atılan bir cisim, aynı sürede yere düşer. Yatay hız, düşme süresini etkilemez.

10. Alıştırma: Şahin ve Solucan

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Serbest Düşme

Sayfa 127

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Serbest Düşme - Hız-Zaman Grafiği ve Yükseklik Hesabı

10. Alıştırma: Şahinin Avı

Serbest düşme hareketi problemi

Hava direncinin önemsenmediği bir ortamda düşey doğrultuda şekildeki gibi dalışa geçen bir şahin, 30 m/s hıza ulaştığı anda pençesinde tutmakta olduğu solucanı düşürüyor. Solucan 5 s sonra yere düştüğüne göre (g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre

a) Solucanın hız-zaman grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Analiz:

Solucan, şahinin pençesinden 30 m/s düşey hızla (aşağı yönlü) bırakılıyor. Bu andan itibaren serbest düşme hareketi yapar ve yer çekimi ivmesi (g = 10 m/s²) etkisiyle hızı her saniye 10 m/s artar.

Başlangıç hızı: v₀ = 30 m/s (aşağı yönlü)

t = 5 s sonraki hız: v = v₀ + g·t = 30 + 10·5 = 80 m/s

Solucanın Hız-Zaman Grafiği

Cevap: Hız-zaman grafiği, (0, 30) noktasından başlayıp (5, 80) noktasına uzanan doğrusal bir doğrudur. Grafiğin eğimi, yer çekimi ivmesini (g = 10 m/s²) verir.

b) Çizdiğiniz grafikten yararlanarak solucanın düştüğü noktanın yerden yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Yöntem: Hareket Denklemi

h = v₀·t + ½·g·t²

h = 30·5 + ½·10·(5)²

h = 150 + 5·25

h = 150 + 125

h = 275 m

2. Yöntem: Grafikten Alan Hesabı

Hız-zaman grafiğinde grafik ile zaman ekseni arasındaki alan, alınan yolu (düşme mesafesini) verir. Grafikteki alan bir yamuktur:

Alan = [(v₀ + v) / 2] · t

Alan = [(30 + 80) / 2] · 5

Alan = (110 / 2) · 5

Alan = 55 · 5

Alan = 275 m

Cevap: Solucanın düştüğü noktanın yerden yüksekliği 275 m'dir. Bu değer, hem hareket denklemiyle hem de grafikteki alan hesabıyla aynı sonucu vermektedir.

Ek Bilgi: Hız-zaman grafiğinin altındaki alan, yer değiştirmeyi verir. Bu problemde solucanın düşme mesafesi, şahinin bulunduğu yüksekliğe eşittir.

Serbest Düşme - Önemli Noktalar

Hız Denklemi

v = v₀ + g·t

Yol Denklemi

h = v₀·t + ½·g·t²

Grafik Alanı

v-t grafiğinde alan = yer değiştirme

Hatırlatma: Düşey doğrultuda aşağı yönlü ilk hızla atılan cisimlerde, hız-zaman grafiği doğrusaldır ve eğimi yer çekimi ivmesini (g) verir. Grafik ile zaman ekseni arasındaki alan, cismin aldığı yolu gösterir.

11. Soru: Turgut ve Erdem'in Top Atışları

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Yatay Atış

Sayfa 128

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Yatay Atış Hareketi - Uçuş Süresi, Yükseklik ve Menzil

11. Soru: Turgut ve Erdem'in Top Atışları

Eğik düzlem ve merdiven üzerinden yatay atış

Turgut, şekildeki gibi yatay zeminle 37° açı yapan eğik düzlemin üst ucundaki bir topu 20 m/s büyüklüğünde hızla, Erdem ise basamak mesafeleri 15 cm ve 25 cm olan yeterince yüksek bir merdivenin üst ucunda duran topu 25 m/s büyüklüğünde hızla harekete geçiriyor. Aralarında 1 m'lik uzaklık bulunan toplar, hareketlerine zıt yönlerde başlayarak eğik düzlem ve merdivenin bitiş noktası olan A ve B noktalarına düşüyor. (g = 10 m/s² alınız. Hava direncini ihmal ediniz.)

Buna göre

d) Erdem'in vurduğu topun, hareketi süresince yatay ve düşey düzlemdeki konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini aşağıda verilen alana çiziniz.

Çözüm:

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Yatay Hız - Zaman (v_x-t)

Yatay İvme - Zaman (a_x-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

Düşey Hız - Zaman (v_y-t)

Düşey İvme - Zaman (a_y-t)

Yorum: Yatay atışta yatay hareket sabit hızlıdır (ivme sıfır). Düşey hareket ise sabit ivmeli (g) serbest düşmedir.

e) Turgut'un vurduğu topun, hareketi süresince yatay ve düşey düzlemdeki konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini aşağıda verilen alana çiziniz.

Çözüm:

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Yatay Hız - Zaman (v_x-t)

Yatay İvme - Zaman (a_x-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

Düşey Hız - Zaman (v_y-t)

Düşey İvme - Zaman (a_y-t)

Yorum: Turgut'un topu da yatay atış hareketi yapar. Yatay hızı 16 m/s'dir (20·cos37°). Düşey hareketi, Erdem'in topu ile aynıdır (serbest düşme). Tek fark, yatay hızın büyüklüğüdür.

Yatay Atış - Özet

Yatay Hareket

Sabit hızlı (a = 0)

Düşey Hareket

Serbest düşme (a = g)

Uçuş Süresi

t = √(2h/g)

Menzil

x = v₀ · t

Hatırlatma: Yatay atışta düşme süresi yalnızca yüksekliğe bağlıdır; yatay hızdan bağımsızdır. Menzil ise hem yatay hıza hem de düşme süresine bağlıdır.

12. Soru: Doruk ve Yağız'ın İstop Oyunu

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Düşey Atış ve Bağıl Hareket

Sayfa 129

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Düşey Atış Hareketi ve Bağıl Hız

12. Soru: İstop Oyunu

Düşey atış ve yatay koşma hızı problemi

Bir grup arkadaşıyla istop oynayan Doruk, Yağız'ın ismini söyleyerek topu yere göre 1 m yükseklikten 10 m/s hızla yere dik şekilde yukarı doğru atıyor ve -x yönünde koşmaya başlıyor. Topun atıldığı noktadan 8 m uzakta duran Yağız, ismini duyar duymaz sabit hızla topa doğru koşuyor ve topu Doruk'un elinden çıktığı noktada yakalıyor. (g = 10 m/s² alınız. Hava direncini ihmal ediniz.)

Buna göre

a) Topun havada kalma süresini bulunuz.

Çözüm:

Analiz:

Top, yere göre 1 m yükseklikten 10 m/s hızla yere dik atılıyor. g = 10 m/s² alalım.

Top, atıldığı yükseklikte (1 m) tekrar yakalanıyor, yani düşey yöndeki yer değiştirmesi sıfırdır:

Δy = v₀·t - ½·g·t² = 0

t·(v₀ - g·t/2) = 0

t = 2·v₀ / g

t = (2 · 10) / 10

t = 2 s

Cevap: Topun havada kalma süresi 2 s'dir.

b) Topun çıkabileceği maksimum yüksekliği bulunuz.

Çözüm:

Zirvede Anlık Hız Sıfırdır:

0 = v₀² - 2·g·h_artış

h_artış = v₀² / (2g) = 100 / 20

h_artış = 5 m

Atış noktası zaten 1 m yüksekte olduğundan:

h_maks = 1 + 5

h_maks = 6 m

Cevap: Topun çıkabileceği maksimum yükseklik yerden 6 m'dir.

c) Yağız'ın koşma hızı kaç m/s'dir?

Çözüm:

Hesaplama:

Yağız, top 2 s havada kaldığı sürede 8 m yolu kat etmelidir:

v = x / t

v = 8 / 2

v = 4 m/s

Cevap: Yağız'ın koşma hızı 4 m/s'dir.

ç) Ortamın yer çekimi ivmesi 5 m/s² olsaydı Yağız'ın topu atıldığı yükseklikte yakalayabilmesi için kaç m/s hızla koşması gerekirdi?

Çözüm:

Yeni Uçuş Süresi (g' = 5 m/s²):

Topun atıldığı yükseklikte yakalanabilmesi için havada kalma süresi yeniden hesaplanır:

t' = 2·v₀ / g'

t' = (2 · 10) / 5

t' = 4 s

Yağız'ın Yeni Koşma Hızı:

v' = x / t'

v' = 8 / 4

v' = 2 m/s

Cevap: Yer çekimi ivmesi 5 m/s² olsaydı, Yağız'ın topu yakalayabilmesi için 2 m/s hızla koşması gerekirdi.

Özet: Yer çekimi azaldığında top daha uzun süre havada kalır, bu yüzden Yağız daha yavaş koşarak da topu yakalayabilir.

Düşey Atış - Özet

Uçuş Süresi

t = 2 · v₀ / g

Maks. Yükseklik

h_max = v₀² / (2g)

Hız Denklemi

v = v₀ - g · t

Önemli

Yer çekimi ivmesi azalırsa uçuş süresi artar.

Hatırlatma: Yukarı atılan bir cisim, atıldığı seviyeye dönerken ilk hızının büyüklüğüne eşit hıza sahiptir. Atış yüksekliği ve yer çekimi ivmesi, uçuş süresini belirler.

13. Soru: Yanardağdan Fırlayan Kayalar

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Düşey ve Eğik Atış

Sayfa 130

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Düşey Atış ve Eğik Atış Hareketi Karşılaştırması

13. Soru: Yanardağ Patlaması

Düşey atış ve eğik atış problemleri

Yanardağlar, lavlardan oluşan kayalar fırlatabilir. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir yanardağ patlaması sırasında bir kaya; ilk hızı sıfırdan farklı, ϑ₀ büyüklüğünde ve +y yönünde olacak şekilde yanardağdan fırlıyor. Bu kayanın hareketini gözlemleyen bilim insanı, K noktasından fırlayan kayanın L noktasına ulaştıktan sonra tekrar K noktasına gelme süresini 8 s olarak ölçüyor. (Hava direncini ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre K noktasından fırlayan kayanın;

a) İlk hızı (ϑ₀) kaç m/s'dir?

Çözüm:

Analiz:

Kaya K noktasından dikey yukarı fırlıyor, en üst nokta L'ye ulaşıyor ve K noktasına geri dönüyor. K'dan K'ya toplam süre 8 s'dir.

Yukarı atılan bir cisim için çıkış ve iniş süreleri eşittir, bu yüzden:

t_çıkış = t_iniş = 8 / 2 = 4 s

Çıkış süresi t = ϑ₀ / g olduğundan:

ϑ₀ = g · t_çıkış

ϑ₀ = 10 · 4 = 40 m/s

Cevap: Kayanın ilk hızı 40 m/s'dir.

b) Kayanın 0-8 s arasındaki hareketine ait konum, hız ve ivme verilerini gösteren tabloyu doldurunuz.

Çözüm:

Denklemler:

Konum: y = 40t - 5t²

Hız: v = 40 - 10t

İvme: a = -10 m/s² (sabit)

Zaman (s)	Konum (m)	Hız (m/s)	İvme (m/s²)
0	0	+40	−10
1	35	+30	−10
2	60	+20	−10
3	75	+10	−10
4	80	0	−10
5	75	−10	−10
6	60	−20	−10
7	35	−30	−10
8	0	−40	−10

Cevap: Tablo yukarıdaki gibi doldurulur. Kaya 4. saniyede en üst noktaya (80 m) ulaşır ve 8. saniyede tekrar başlangıç noktasına döner.

c) K noktasından 50 m/s hızla 37°'lik açıyla fırlayan kayanın M noktasına ulaşma süresini, M noktasındaki hız büyüklüğünü ve yatayda aldığı yolu hesaplayınız.

Çözüm:

İlk Hız Bileşenleri (37° için sin37° = 0,6, cos37° = 0,8):

v_x = 50 · 0,8 = 40 m/s

v_y0 = 50 · 0,6 = 30 m/s

Süre (M, K'nın 35 m altında olduğundan Δy = −35 m):

−35 = 30t − 5t²

5t² − 30t − 35 = 0

t² − 6t − 7 = 0

(t − 7)(t + 1) = 0

t = 7 s

M'deki Hız:

v_y = 30 − 10 · 7 = −40 m/s

v = √(v_x² + v_y²) = √(40² + 40²)

v = 40√2 ≈ 56,6 m/s

Yatayda Alınan Yol:

x = v_x · t = 40 · 7

x = 280 m

M'ye Ulaşma Süresi (s)	M'deki Hız Büyüklüğü (m/s)	Yatayda Aldığı Yol (m)
7	40√2 ≈ 56,6	280

Cevap: M noktasına ulaşma süresi 7 s, M'deki hız büyüklüğü 40√2 ≈ 56,6 m/s, yatayda alınan yol 280 m'dir.

ç) K noktasından 50 m/s hızla 37°'lik açıyla fırlayan kayanın hareketine ait yatay ve düşey düzlemdeki hız-zaman, konum-zaman ve ivme-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Yatay Hız - Zaman (v_x-t)

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Yatay İvme - Zaman (a_x-t)

Düşey Hız - Zaman (v_y-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

Düşey İvme - Zaman (a_y-t)

Yorum: x ekseni (yatay): sürtünme yok → hız-zaman yatay doğru, konum-zaman orijinden geçen doğru, ivme-zaman sıfır doğrusu. y ekseni (düşey): hız-zaman azalan doğru (t=3 s'de sıfır, t=7 s'de -40), konum-zaman aşağı açık parabol (tepe noktası t=3 s'de 45 m), ivme-zaman yatay doğru (a=-10 m/s²).

Eğik Atış - Özet ve Hareket İlişkileri

Yatay Eksen (x)

a_x = 0, v_x = sabit → Sabit hızlı doğrusal hareket

Düşey Eksen (y)

a_y = -g, v_y değişir → Sabit ivmeli doğrusal hareket

Genel Sonuç

Eğik atış = Yatayda sabit hız + Düşeyde sabit ivme (bileşke hareket)

Hatırlatma: Eğik atış hareketi, birbirinden bağımsız iki hareketin (yatayda sabit hızlı, düşeyde sabit ivmeli) üst üste binmesiyle oluşur. Yatay hız, düşey hareketi etkilemez.

14. Soru: Lina'nın Anahtarı

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Serbest Düşme ve Atışlar

Sayfa 132

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Farklı Yönlerde Atış Hareketleri ve Karşılaştırması

14. Soru: Balkondan Atılan Anahtar

Serbest düşme, düşey atış, yatay atış ve eğik atış problemleri

Lina, okula gitmek için evden çıktıktan sonra evin anahtarını unuttuğunu fark ediyor. Annesini arayarak ondan anahtarı kendisine balkondan atmasını istiyor. Annesi, yerden 40 m yükseklikteki anahtarı şekildeki gibi binanın balkonundan düşey doğrultuda (1 yönü) ilk hızsız olarak bırakıyor. Anahtarın yere düştüğü nokta Lina'ya 40 m uzaklıktadır. (Hava direncini ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre

a) Anahtar 1 yönünde ilk hızsız bırakıldığına göre anahtarın havada kalma süresini ve yere çarpma hızını hesaplayınız.

Çözüm:

Veriler:

Yükseklik: h = 40 m
İlk hız: v₀ = 0 (serbest bırakma)
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

Süre Hesabı:

h = ½ · g · t²

40 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 8 → t = 2√2 s ≈ 2,83 s

Yere Çarpma Hızı:

v = g · t = 10 · 2√2

v = 20√2 m/s ≈ 28,3 m/s

Cevap: Anahtarın havada kalma süresi 2√2 s ≈ 2,83 s, yere çarpma hızı 20√2 m/s ≈ 28,3 m/s'dir.

b) Anahtar 2 yönünde (yukarı doğru) 10 m/s hızla atılırsa havada kalma süresi ve yere çarpma hızı ne olur?

Çözüm:

Dikkat: Anahtar yukarı atıldığında tepe noktasına ulaşıp duruyor; yani iniş yolu sadece 40 m değil, 45 m oluyor. Bu yüzden t = 2v₀/g formülü (aynı yükseklikten geçiş süresi) burada uygulanamaz.

1. Adım: Yükselme Evresi

Toplam hareketin dikey olduğu durumda, tepe noktasına çıkma süresi:

t_yükselme = v₀ / g

t_yükselme = 10 / 10 = 1 s

Bu 1 s'de çıkılan yükseklik:

h₁ = v₀·t - ½·g·t²

h₁ = 10·1 - 5·1²

h₁ = 5 m

2. Adım: Anahtarın Tepe Noktadaki Yüksekliği

h_tepe = 40 + 5 = 45 m

(Anahtar tepe noktada yerden 45 m yüksektedir.)

3. Adım: Alçalma Evresi

Tepe noktadan ilk hızsız serbest düşerek 45 m iner:

45 = ½ · g · t_alçalma²

45 = 5 · t_alçalma²

t_alçalma² = 9

t_alçalma = 3 s

4. Adım: Toplam Süre

t_toplam = t_yükselme + t_alçalma

t_toplam = 1 + 3

t_toplam = 4 s

5. Adım: Yere Çarpma Hızı

45 m'lik serbest düşüşten:

v = g · t_alçalma

v = 10 · 3

v = 30 m/s

Cevap: Anahtar 2 yönünde (yukarı doğru) 10 m/s hızla atılırsa havada kalma süresi 4 s, yere çarpma hızı 30 m/s'dir.

Ek Bilgi: Bu hatanın nedeni, yukarı atışta cismin tepe noktasına kadar yükselip sonra daha yüksek bir noktadan düşmeye başlamasıdır. Bu nedenle düşme mesafesi 45 m olur ve toplam süre 4 s'ye çıkar.

c) Anahtar sırasıyla 1 ve 3 yönünde 10 m/s hızla atılırsa yere çarpma hızları ne olur?

Çözüm:

1 Yönü (Düşey Aşağı):

v² = v₀² + 2 · g · h

v² = 10² + 2 · 10 · 40 = 900

v = 30 m/s

3 Yönü (Yatay):

Düşey bileşen a) şıkkındaki gibidir: v_y = 20√2 m/s

v_x = 10 m/s (sabit)

v = √(v_x² + v_y²)

v = √(10² + (20√2)²)

v = √(100 + 800) = √900

v = 30 m/s

Cevap: Her iki durumda da yere çarpma hızı 30 m/s'dir. Hareketin düşey bileşeni her durumda aynıdır.

ç) Anahtarın 3 yönünde atılması durumunda Lina'nın olduğu yere düşmesi için anahtarın hangi hızla atılması gerekir?

Çözüm:

Hesaplama:

Lina 40 m uzakta. Anahtarın düşme süresi değişmez: t = 2√2 s

v = x / t = 40 / (2√2)

v = 40 / (2√2) = 20 / √2 = 10√2

v = 10√2 m/s ≈ 14,1 m/s

Cevap: Lina'nın olduğu yere düşmesi için anahtarın 3 yönünde 10√2 m/s ≈ 14,1 m/s hızla atılması gerekir.

d) Anahtar 4 yönüne (45° açıyla) 10√2 m/s hızla atılırsa hız bileşenleri ne olur? 1-4 saniyeler arasındaki hız bileşenlerini ve bileşke hızları tablo halinde gösteriniz.

Çözüm:

İlk Hız Bileşenleri (45° için):

v_x = 10√2 · cos45° = 10√2 · (√2/2) = 10 m/s

v_y0 = 10√2 · sin45° = 10√2 · (√2/2) = 10 m/s

Denklemler:

Yatay hız: v_x = 10 m/s (sabit)

Düşey hız: v_y = 10 - 10t

Bileşke hız: v = √(v_x² + v_y²)

Zaman (s)	Yatay Hız (m/s)	Düşey Hız (m/s)	Bileşke Hız (m/s)
0	10	10	10
1	10	0	10
2	10	−10	10√2 ≈ 14,1
3	10	−20	10√5 ≈ 22,4
4	10	−30	10√10 ≈ 31,6

Cevap: Tablo yukarıdaki gibidir. Yatay hız sabit kalırken, düşey hız her saniye 10 m/s azalır (aşağı yönlü artar). Bileşke hız ise buna bağlı olarak artar.

e) Anahtar 4 yönüne atıldığında 1'er saniyelik zaman aralıklarındaki yatay ve düşey yer değiştirmeleri ile ivmeleri tablo halinde gösteriniz.

Çözüm:

Hesaplamalar:

Yatayda her 1 s'de: Δx = 10 m

Düşey konum: y = 10t - 5t²

y(0)=0, y(1)=5, y(2)=0, y(3)=−15, y(4)=−40

Zaman Aralığı (s)	Yatay Yer Değiştirme (m)	Düşey Yer Değiştirme Büyüklüğü (m)	İvme (m/s²)
0–1	10	5	Yatay 0, Düşey −10
1–2	10	5	Yatay 0, Düşey −10
2–3	10	15	Yatay 0, Düşey −10
3–4	10	25	Yatay 0, Düşey −10

Cevap: Tablo yukarıdaki gibidir. Yatay yer değiştirme sabittir (sabit hız). Düşey yer değiştirme, ivmeli hareket nedeniyle her saniye artar. İvme ise her aralıkta sabittir (yatayda 0, düşeyde −10 m/s²).

f) Anahtar 4 yönüne atıldığında hareketine ait yatay ve düşey düzlemdeki konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Yatay Hız - Zaman (v_x-t)

Yatay İvme - Zaman (a_x-t)

Yorum: Yatay eksende: hız-zaman yatay doğru (sabit), konum-zaman orijinden geçen doğru, ivme-zaman sıfır doğrusu. Düşey eksende: hız-zaman azalan doğru (t=1 s'de sıfır), konum-zaman parabol (tepe noktası t=1 s'de 5 m), ivme-zaman yatay doğru (a=-10 m/s²).

Atış Hareketleri - Özet

Serbest Düşme

v₀ = 0, t = √(2h/g)

Düşey Atış

t = 2v₀/g (atıldığı yere dönüş)

Yatay Atış

x = v₀t, t = √(2h/g)

Eğik Atış

x = v₀ₓt, y = v₀ᵧt - ½gt²

Hatırlatma: Tüm atış hareketlerinde düşey ivme g'dir. Yatay atışta ise yatay ivme sıfırdır (sabit hız). Eğik atışta her iki eksende de hareket birbirinden bağımsızdır.

15. Soru: Sürtünmeli ve Sürtünmesiz Ortamda İvme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Newton'ın Hareket Yasaları

Sayfa 134

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Net Kuvvet ve İvme Hesabı

15. Soru: Kutuya Uygulanan Kuvvetler

Her bir durum için ivme hesabı

Sürtünmelerin ihmal edildiği ve edilmediği iki farklı ortamda 2 kg kütleli özdeş kutulara yatay düzleme paralel uygulanan kuvvet değerleri aşağıda verilmiştir.

Her bir durum için kutuların ivme büyüklüklerini hesaplayınız. (g = 10 N/kg alınız.)

Sürtünmelerin İhmal Edildiği Ortam

a = F_net / m = 20 / 2 = 10 m/s²

Sürtünmeli Ortam (k_statik = 0,6; k_kinetik = 0,4)

F_s,max = 0,6·20 = 12 N → F > F_s,max → hareket eder.
F_k = 0,4·20 = 8 N
a = (20 - 8) / 2 = 6 m/s²

Sürtünmelerin İhmal Edildiği Ortam

F_net = 20 - 10 = 10 N
a = 10 / 2 = 5 m/s²

Sürtünmeli Ortam (k_statik = 0,6; k_kinetik = 0,4)

F_net = 20 - 10 = 10 N
F_s,max = 0,6·20 = 12 N → F_net < F_s,max → hareket etmez.
a = 0 m/s²

Özet:

Durum 1 - Sürtünmesiz: a = 10 m/s²
Durum 1 - Sürtünmeli: a = 6 m/s² (hareket eder, kinetik sürtünme devrede)
Durum 2 - Sürtünmesiz: a = 5 m/s²
Durum 2 - Sürtünmeli: a = 0 m/s² (hareket etmez, statik sürtünme engeller)

Sürtünme ve İvme - Önemli Noktalar

İvme Formülü

a = F_net / m

Statik Sürtünme

F_s,max = k_s · N

Kinetik Sürtünme

F_k = k_k · N

Hatırlatma: Bir cismin harekete geçebilmesi için uygulanan kuvvetin, maksimum statik sürtünme kuvvetini aşması gerekir. Aşıldığında ise kinetik sürtünme kuvveti devreye girer ve cisim ivmeli hareket yapar.

16-17. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Newton'ın Hareket Yasaları

Sayfa 135

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Sürtünme Kuvveti ve İp Gerilmesi Problemleri

Soru 16: Kızak ve Kurt Köpekleri

Sürtünme kuvveti-uygulanan kuvvet grafiği yorumlama

Alaska'nın bazı bölgelerinde kurt köpeklerinin çektiği kızaklar yük taşımacılığı veya ulaşım amacıyla kullanılmaktadır. Karla kaplı zemin üzerinde duran bir kızağa kurt köpekleri tarafından uygulanan kuvvet ile sürtünme kuvveti arasındaki ilişki aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Buna göre

I. Durgun hâldeki kızağa uygulanan kuvvetin büyüklüğü 46 N olduğunda kızak harekete geçer.

II. Durgun hâldeki kızağa 40 N büyüklüğünde bir kuvvet uygulandığında kızağa 40 N büyüklüğünde statik sürtünme kuvveti etki eder.

III. Kızak ve içindeki kişinin toplam kütlesi 100 kg ise zemin ile kızak arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,05'tir.

ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu gerekçeleriyle açıklayınız. Varsa hatalı ifadeleri düzeltiniz. (g = 10 N/kg alınız.)

Çözüm:

Grafikten Okunan Değerler:

Maksimum statik sürtünme kuvveti: F_s,max = 50 N (grafikte en yüksek nokta)
Kinetik sürtünme kuvveti: F_k = 45 N (hareket başladıktan sonra sabit değer)

I. Yargı: Durgun hâldeki kızağa uygulanan kuvvetin büyüklüğü 46 N olduğunda kızak harekete geçer.

Grafikten, maksimum statik sürtünme kuvvetinin 50 N olduğu görülmektedir. Kızağın harekete geçebilmesi için uygulanan kuvvetin en az 50 N olması gerekir.

46 N < 50 N olduğu için 46 N'luk kuvvet kızağı harekete geçiremez. Kızak hareketsiz kalır.

I. yargı YANLIŞTIR. Kızak, 50 N'luk kuvvet uygulandığında harekete geçer.

II. Yargı: Durgun hâldeki kızağa 40 N büyüklüğünde bir kuvvet uygulandığında kızağa 40 N büyüklüğünde statik sürtünme kuvveti etki eder.

Statik sürtünme kuvveti, uygulanan kuvvete eşit büyüklükte ve zıt yöndedir (hareket olmadığı sürece). 40 N < 50 N (F_s,max) olduğu için kızak hareketsiz kalır ve statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvveti dengeler: F_s = 40 N.

II. yargı DOĞRUDUR.

III. Yargı: Kızak ve içindeki kişinin toplam kütlesi 100 kg ise zemin ile kızak arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,05'tir.

Normal kuvvet: N = m · g = 100 · 10 = 1000 N

Maksimum statik sürtünme kuvveti: F_s,max = k_s · N

50 = k_s · 1000

k_s = 50 / 1000 = 0,05

III. yargı DOĞRUDUR.

Sonuç: Doğru yargılar II ve III'tür. I. yargı yanlıştır ve "Kızak, 50 N'luk kuvvet uygulandığında harekete geçer." şeklinde düzeltilmelidir.

Soru 17: Çekici ve Otomobil

Eğik düzlemde ip gerilmesi hesabı

Yolda arıza yapan bir otomobil aşağıdaki gibi çekiciye yüklenecektir.

Soru: Kütlesi 1500 kg olan bu otomobil 0,1 m/s² ivme ile çekilirken halatta oluşan gerilme kuvvetini hesaplayınız. (Sürtünmeleri ihmal ediniz. sin37° = 0,6 ve cos37° = 0,8 alınız.)

Çözüm:

Veriler:

Otomobilin kütlesi: m = 1500 kg
İvme: a = 0,1 m/s²
Eğim açısı: α = 37°
sin37° = 0,6
cos37° = 0,8

Kuvvet Analizi:

Otomobile etki eden kuvvetler:

Halat gerilmesi (T): Eğik düzlem boyunca yukarı yönlü.
Ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni (G_x): Eğik düzlem boyunca aşağı yönlü. G_x = m·g·sin37°

Sürtünmeler ihmal edildiği için net kuvvet: F_net = T - G_x = m·a

Hesaplama:

Ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni:

G_x = m · g · sin37° = 1500 · 10 · 0,6 = 9000 N

Hareket denklemi:

T - G_x = m · a

T - 9000 = 1500 · 0,1

T - 9000 = 150

T = 9000 + 150 = 9150 N

Cevap: Halatta oluşan gerilme kuvveti 9150 N'dur.

Ek Bilgi: Eğer otomobil sabit hızla çekilseydi (a = 0), halat gerilmesi sadece ağırlığın eğik düzleme paralel bileşenine (9000 N) eşit olurdu.

Sürtünme ve İp Gerilmesi - Özet

Statik Sürtünme

F_s ≤ F_s,max = k_s·N

Kinetik Sürtünme

F_k = k_k·N (sabit)

Eğik Düzlemde Ağırlık

G_x = m·g·sinα

İp Gerilmesi

T = m·a + m·g·sinα

Hatırlatma: Sürtünmesiz eğik düzlemde bir cismi yukarı çekerken, uygulanan kuvvet hem ağırlığın eğik düzleme paralel bileşenini (G_x) dengelemeli hem de cisme ivme kazandırmalıdır.

18-19. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Sürtünme Kuvveti

Sayfa 136

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Eğik Düzlemde Sürtünme Kuvveti Problemleri

Soru 18: Defne'nin Sürtünme Deneyi

Tahta ve fayans zeminlerde statik sürtünme karşılaştırması

Sürtünme kuvveti ile ilgili bir deney yapmak isteyen Defne; şekildeki gibi tahta ve fayans malzemeden yapılmış, eğimi ayarlanabilen iki düzenek kuruyor. Defne, her iki düzeneğin de yatay düzlemle yaptığı açıyı 30° olarak ayarlıyor. Daha sonra özdeş cisimleri serbest bırakıyor ve cisimlerin harekete başlamadığını gözlemliyor. Düzenekte θ açılarını 45°'ye çıkardığında yalnızca fayans zemine sahip eğik düzlem üzerindeki cismin harekete başladığını tespit ediyor.

Buna göre

I. Tahta zemin ile cisim arasındaki statik sürtünme katsayısı, fayans zemin ile cisim arasındaki statik sürtünme katsayısından büyüktür.

II. θ açılarının 30° olduğu ilk durumda her iki düzenekteki özdeş cisimlere etki eden sürtünme kuvvetleri eşit büyüklüktedir.

III. θ açılarının 45° olduğu ikinci durumda her iki düzenekteki özdeş cisimlere etki eden sürtünme kuvvetleri eşit büyüklüktedir.

ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu gerekçeleriyle açıklayınız. Hatalı ifadeleri düzeltiniz. (g = 10 N/kg alınız.)

Çözüm:

Analiz:

Eğik düzlemde cismin harekete geçme koşulu: Ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni (G_x = m·g·sinθ), maksimum statik sürtünme kuvvetini (F_s,max = k_s·m·g·cosθ) yenmelidir.

Sınır durumda: tanθ_sınır = k_s

I. Yargı: Tahta zemin ile cisim arasındaki statik sürtünme katsayısı, fayans zemin ile cisim arasındaki statik sürtünme katsayısından büyüktür.

30°'de her iki cisim de hareketsiz kaldığına göre, her iki zemin için de k_s > tan30° ≈ 0,58'dir.

45°'de ise sadece fayans zemin üzerindeki cisim harekete geçtiğine göre:

Fayans için: k_s,fayans < tan45° = 1 (hareket etti)
Tahta için: k_s,tahta > tan45° = 1 (hareket etmedi)

Buradan k_s,tahta > 1 > k_s,fayans olduğu sonucuna ulaşılır. Yani tahta zeminin statik sürtünme katsayısı daha büyüktür.

I. yargı DOĞRUDUR.

II. Yargı: θ açılarının 30° olduğu ilk durumda her iki düzenekteki özdeş cisimlere etki eden sürtünme kuvvetleri eşit büyüklüktedir.

30°'de her iki cisim de hareketsizdir. Hareketsiz cisimlerde statik sürtünme kuvveti, uygulanan kuvveti (burada ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni) dengeler:

F_s = G_x = m·g·sin30°

Cisimler özdeş (m aynı) ve açılar aynı (30°) olduğu için her iki cisim için de F_s eşit büyüklüktedir.

II. yargı DOĞRUDUR.

III. Yargı: θ açılarının 45° olduğu ikinci durumda her iki düzenekteki özdeş cisimlere etki eden sürtünme kuvvetleri eşit büyüklüktedir.

45°'de:

Fayans zemin: Cisim harekete geçtiği için kinetik sürtünme kuvveti etki eder: F_k = k_k·m·g·cos45°
Tahta zemin: Cisim hareketsiz kaldığı için statik sürtünme kuvveti etki eder: F_s = m·g·sin45°

Fayans için k_k < k_s,fayans < 1 (diyebiliriz, çünkü 45°'de hareket etti). Tahta için ise statik sürtünme katsayısı 1'den büyük olduğundan F_s,tahta = m·g·sin45° = m·g·(√2/2) ≈ 0,707·m·g'dir.

Fayans için kinetik sürtünme kuvveti: F_k,fayans = k_k·m·g·cos45° = k_k·m·g·(√2/2). k_k < 1 olduğundan F_k,fayans < 0,707·m·g = F_s,tahta'dır. Yani sürtünme kuvvetleri eşit değildir.

III. yargı YANLIŞTIR. 45°'de fayans zemin üzerindeki cisme kinetik, tahta zemin üzerindeki cisme statik sürtünme kuvveti etki eder ve büyüklükleri farklıdır.

Sonuç: Doğru yargılar I ve II'dir. III. yargı yanlıştır ve "45°'de fayans zeminde kinetik sürtünme, tahta zeminde statik sürtünme kuvveti etki eder ve büyüklükleri farklıdır." şeklinde düzeltilmelidir.

Soru 19: Zehra'nın Blok Deneyi

Eğik düzlemde denge için minimum kuvvet

Zehra, oyuncak bloklar ile oynarken 3 kg kütleli blokun eğik düzlem üzerinde kaymasını engellemek için parmağı ile eğik düzleme dik olacak şekilde blokun üzerine bir kuvvet uyguluyor. Eğik düzlemin yatayla yaptığı açı 37° ve yüzeyler arası statik sürtünme katsayısı 0,3'tür.

Soru: Buna göre Zehra'nın uygulaması gereken minimum kuvvet kaç N büyüklüğünde olmalıdır? (sin37° = cos53° = 0,6; sin53° = cos37° = 0,8; g = 10 N/kg alınız.)

Çözüm:

Veriler:

Blokun kütlesi: m = 3 kg
Eğim açısı: α = 37°
Statik sürtünme katsayısı: k_s = 0,3
sin37° = 0,6; cos37° = 0,8
g = 10 N/kg

Kuvvet Analizi:

Bloka etki eden kuvvetler:

Ağırlık (G): Aşağı yönlü. G = m·g = 3·10 = 30 N
Ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni (G_x): Eğik düzlem boyunca aşağı yönlü. G_x = m·g·sin37° = 30·0,6 = 18 N
Ağırlığın eğik düzleme dik bileşeni (G_y): Eğik düzleme dik aşağı yönlü. G_y = m·g·cos37° = 30·0,8 = 24 N
Zehra'nın uyguladığı kuvvet (F): Eğik düzleme dik, aşağı yönlü (bloku yüzeye bastırıyor).
Statik sürtünme kuvveti (F_s): Eğik düzlem boyunca yukarı yönlü (hareketi engelliyor).

Normal Kuvvet:

Yüzeye dik yönde denge: N = G_y + F

N = 24 + F

Minimum Kuvvet Koşulu:

Blokun kaymaması için, statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri, ağırlığın eğik düzleme paralel bileşenini dengelemelidir:

F_s,max = G_x

k_s · N = 18

0,3 · (24 + F) = 18

24 + F = 60

F = 36 N

Cevap: Zehra'nın uygulaması gereken minimum kuvvet 36 N'dur.

Eğik Düzlemde Sürtünme - Özet

Ağırlık Bileşenleri

G_x = m·g·sinα
G_y = m·g·cosα

Hareket Koşulu

G_x > F_s,max = k_s·N

Sınır Açı

tanθ_sınır = k_s

Minimum Dış Kuvvet

F = (G_x/k_s) - G_y

Hatırlatma: Eğik düzlemde bir cismi kaymadan tutabilmek için, uygulanan dik kuvvet normal kuvveti artırarak sürtünme kuvvetini büyütür.

20-21. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Sürtünme Kuvveti

Sayfa 137

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Statik ve Kinetik Sürtünme Problemleri

Soru 20: Mehmet'in Eşya Taşıma Deneyi

Statik sürtünme katsayısı ve sürtünme kuvveti ilişkisi

Mehmet, yeni evine eşyaları taşırken 14 kg kütleli şekildeki kutuya yatay zeminle 37° açı yapacak şekilde bir F kuvveti uyguluyor. Kuvvet değerini yavaş yavaş artırarak 100 N'a çıkardığı an kutunun hareketlenmeye başladığını ve sonrasında daha küçük büyüklükte bir kuvvetle kutuyu itmeye devam ettiğini fark ediyor.

(sin37° = cos53° = 0,6; sin53° = cos37° = 0,8; g = 10 N/kg alınız.)

Mehmet'in kutuya uyguladığı kuvvet

Buna göre aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların yanındaki kutucuklara "✓" işareti koyunuz. Hatalı olan ifadelerin düzeltilmiş hâlini altlarındaki boşluklara yazınız.

I. Kutu ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,4'tür.

Çözüm:

Kuvvetin yatay bileşeni: F_x = F · cos37° = 100 · 0,8 = 80 N

Kuvvetin düşey bileşeni: F_y = F · sin37° = 100 · 0,6 = 60 N (aşağı yönlü)

Normal kuvvet: N = m·g + F_y = (14·10) + 60 = 140 + 60 = 200 N

Hareketin başladığı anda: F_x = F_s,max

80 = k_s · 200

k_s = 80 / 200 = 0,4

I. ifade DOĞRUDUR. (✓)

II. Mehmet aynı büyüklükte bir kuvveti yatayla 53° açı yapacak şekilde uyguladığında cisme 88 N büyüklüğünde sürtünme kuvveti etki eder.

Çözüm:

53° için kuvvet bileşenleri:

F_x = 100 · cos53° = 100 · 0,6 = 60 N

F_y = 100 · sin53° = 100 · 0,8 = 80 N (aşağı yönlü)

Normal kuvvet: N = 140 + 80 = 220 N

Maksimum statik sürtünme: F_s,max = 0,4 · 220 = 88 N

F_x = 60 N < 88 N olduğu için kutu harekete geçmez. Bu durumda statik sürtünme kuvveti uygulanan yatay kuvvete eşittir: F_s = 60 N.

II. ifade YANLIŞTIR. (Kutu harekete geçmediği için sürtünme kuvveti 88 N değil, 60 N'dur.)
Düzeltme: Mehmet aynı büyüklükteki kuvveti 53° açıyla uyguladığında cisim harekete geçmez ve cisme etki eden sürtünme kuvveti 60 N olur.

III. Uygulanan kuvvetin büyüklüğü ilk duruma göre yarıya inse kutuya etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü de yarıya iner.

Çözüm:

İlk durumda kuvvet 100 N iken kutu harekete geçiyordu. Kuvvet yarıya inerse (50 N), yatay bileşen F_x = 50 · 0,8 = 40 N olur.

Normal kuvvet: N = 140 + (50 · 0,6) = 140 + 30 = 170 N

Maksimum statik sürtünme: F_s,max = 0,4 · 170 = 68 N

F_x = 40 N < 68 N olduğu için kutu harekete geçmez. Statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşit olur: F_s = 40 N. Bu, ilk durumdaki sürtünme kuvvetinin (80 N) yarısıdır.

III. ifade DOĞRUDUR. (✓) (Statik sürtünme kuvveti, uygulanan kuvvetle doğru orantılı olarak değişir.)

Sonuç: Doğru ifadeler I ve III'tür. II. ifade yanlıştır ve düzeltilmiştir.

Soru 21: Murat'ın Blok İtme Deneyi

Farklı dizilimlerde toplam sürtünme kuvveti hesabı

10 kg kütleli özdeş dikdörtgenler prizması şeklindeki bloklar, aşağıdaki gibi beş farklı biçimde özdeş yatay zeminlere yerleştiriliyor. Murat, zemine paralel 200 N büyüklüğünde kuvvet uygulayarak blokları harekete geçirmeye çalışıyor. Bloklar ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısının 0,8; kinetik sürtünme katsayısının 0,6 olduğu biliniyor.

Şekil I, II, III, IV ve V'teki blok dizilimleri

Yukarıdaki şekillerde bloklardan oluşan sistemlere etki eden toplam sürtünme kuvvetlerinin büyüklükleri sırasıyla F₁, F₂, F₃, F₄ ve F₅ olduğuna göre bu kuvvetleri hesaplayarak tabloya yazınız. (Bloklar birbiri üzerinden kaymamakta ve devrilmemektedir. g = 10 N/kg alınız.)

Çözüm:

Temel Analiz:

Tüm şekillerde toplam kütle aynıdır (10 kg'lık bloklar). Ancak toplam ağırlık, temas yüzeyi alanından bağımsız olarak aynı normal kuvveti oluşturur.

Toplam kütle: m_toplam = 10 kg (her bir blok) × blok sayısı

Toplam ağırlık: G_toplam = m_toplam · g = m_toplam · 10

Normal kuvvet: N = G_toplam

Maksimum statik sürtünme: F_s,max = k_s · N = 0,8 · N

Kinetik sürtünme: F_k = k_k · N = 0,6 · N

Şekil I:

2 blok yan yana → Toplam kütle = 2 × 10 = 20 kg

N = 20 · 10 = 200 N

F_s,max = 0,8 · 200 = 160 N

Uygulanan kuvvet 200 N > 160 N olduğu için sistem harekete geçer ve kinetik sürtünme devreye girer.

F₁ = F_k = 0,6 · 200 = 120 N

Şekil II:

2 blok yan yana → Toplam kütle = 20 kg, N = 200 N

F_s,max = 0,8 · 200 = 160 N

200 N > 160 N → Hareket eder, kinetik sürtünme devrede.

F₂ = F_k = 0,6 · 200 = 120 N

Şekil III:

1 blok → Toplam kütle = 10 kg, N = 100 N

F_s,max = 0,8 · 100 = 80 N

200 N > 80 N → Hareket eder, kinetik sürtünme devrede.

F₃ = F_k = 0,6 · 100 = 60 N

Şekil IV:

3 blok (2 alt, 1 üst) → Toplam kütle = 3 × 10 = 30 kg

N = 30 · 10 = 300 N

F_s,max = 0,8 · 300 = 240 N

200 N < 240 N → Hareket etmez! Statik sürtünme devrede.

F₄ = F_s = 200 N (Uygulanan kuvvete eşittir, çünkü sistem dengededir.)

Şekil V:

4 blok (3 alt, 1 üst) → Toplam kütle = 4 × 10 = 40 kg

N = 40 · 10 = 400 N

F_s,max = 0,8 · 400 = 320 N

200 N < 320 N → Hareket etmez! Statik sürtünme devrede.

F₅ = F_s = 200 N (Uygulanan kuvvete eşittir, çünkü sistem dengededir.)

Durum	Toplam Kütle (kg)	Normal Kuvvet (N)	Sürtünme Kuvveti (N)
I. F₁	20	200	120 (Kinetik)
II. F₂	20	200	120 (Kinetik)
III. F₃	10	100	60 (Kinetik)
IV. F₄	30	300	200 (Statik)
V. F₅	40	400	200 (Statik)

Cevap: F₁ = 120 N, F₂ = 120 N, F₃ = 60 N, F₄ = 200 N, F₅ = 200 N.

Önemli Not: Sürtünme kuvveti, temas yüzeyi alanına bağlı değildir; yalnızca normal kuvvete (ağırlığa) ve sürtünme katsayısına bağlıdır. Bu nedenle Şekil I ve II'de (aynı toplam kütle) sürtünme kuvvetleri eşittir. Ayrıca, sistem harekete geçmediğinde statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşit büyüklüktedir.

Sürtünme Kuvveti - Özet

Statik Sürtünme

F_s ≤ F_s,max = k_s·N
(Hareket yoksa uygulanan kuvvete eşittir)

Kinetik Sürtünme

F_k = k_k·N
(Hareket varsa sabittir)

Yüzey Alanı

Sürtünme kuvveti yüzey alanına bağlı değildir.

Normal Kuvvet

N = m·g (yatay zemin)
N = m·g + F_y (aşağı dik kuvvet)

Hatırlatma: Bir cismi harekete geçirmek için uygulanan kuvvetin, maksimum statik sürtünme kuvvetini aşması gerekir. Hareket başladıktan sonra ise kinetik sürtünme kuvveti devreye girer ve genellikle statik sürtünmeden daha küçüktür.

22-23. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Sürtünme Kuvveti

Sayfa 138

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Statik ve Kinetik Sürtünme Kuvveti Hesaplamaları

Soru 22: Yatay Yolda Sürtünme Kuvveti Tablosu

Statik ve kinetik sürtünme kuvveti karşılaştırması

Yatay sürtünmeli bir yolda duran 2 kg kütleli cisme etki edebilecek kinetik sürtünme kuvvetinin değeri 12 N, statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri ise 16 N'dur. Aşağıdaki tabloda bu cisme sırasıyla ve ayrı ayrı yatay doğrultuda uygulanan kuvvet değerleri verilmiştir.

Verilen değerleri göz önünde bulundurarak tabloyu uygun şekilde doldurunuz.

Çözüm:

Temel Bilgiler:

Kütle: m = 2 kg
Maksimum statik sürtünme kuvveti: F_s,max = 16 N
Kinetik sürtünme kuvveti: F_k = 12 N
Uygulanan kuvvet F ≤ 16 N ise cisim harekete geçmez ve statik sürtünme kuvveti F'e eşit olur.
Uygulanan kuvvet F > 16 N ise cisim harekete geçer, kinetik sürtünme kuvveti 12 N olur ve net kuvvet F_net = F - 12 olur.

Uygulanan Kuvvet	Statik Sürtünme Kuvveti	Kinetik Sürtünme Kuvveti	Net Kuvvet	İvme
10 N	10 N	—	0 N	0 m/s²
15 N	15 N	—	0 N	0 m/s²
17 N	—	12 N	5 N	2,5 m/s²
18 N	—	12 N	6 N	3 m/s²
20 N	—	12 N	8 N	4 m/s²

Hesaplama Detayları:

10 N: 10 ≤ 16 → Hareket yok. F_s = 10 N, F_net = 0, a = 0
15 N: 15 ≤ 16 → Hareket yok. F_s = 15 N, F_net = 0, a = 0
17 N: 17 > 16 → Hareket var. F_k = 12 N, F_net = 17 - 12 = 5 N, a = 5/2 = 2,5 m/s²
18 N: 18 > 16 → Hareket var. F_k = 12 N, F_net = 18 - 12 = 6 N, a = 6/2 = 3 m/s²
20 N: 20 > 16 → Hareket var. F_k = 12 N, F_net = 20 - 12 = 8 N, a = 8/2 = 4 m/s²

Sonuç: Tablo yukarıdaki gibi doldurulur. 16 N'a kadar uygulanan kuvvetlerde cisim harekete geçmez ve statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşittir. 16 N'u aşan kuvvetlerde ise cisim harekete geçer ve kinetik sürtünme kuvveti (12 N) devreye girer.

Soru 23: Alper'in Kitabı Duvara Bastırma Deneyi

Düşey duvarda sürtünme kuvveti ve denge

Alper, kütlesi 2 kg olan kitaba düşey duvara dik doğrultuda F kuvveti uyguluyor ve kitabı şekildeki gibi dengede tutmaya çalışıyor. Kitap ile düşey duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,8; kinetik sürtünme katsayısı ise 0,6'dır. Aşağıdaki tabloda Alper'in kitaba uyguladığı kuvvet büyüklükleri gösterilmiştir.

(Hesaplamalarınız için aşağıda verilen alanı kullanınız. g = 10 N/kg alınız.)

Alper'in kitaba uyguladığı kuvvet

Buna göre tabloyu uygun şekilde doldurunuz.

Çözüm:

Temel Bilgiler:

Kitabın ağırlığı: G = m · g = 2 · 10 = 20 N (aşağı yönlü)
Kitabın dengede kalabilmesi için sürtünme kuvvetinin ağırlığı dengelemesi gerekir: F_s = G = 20 N (yukarı yönlü)
Normal kuvvet: N = F (duvara dik uygulanan kuvvet)
Maksimum statik sürtünme: F_s,max = k_s · N = 0,8 · F
Kitabın dengede kalabilmesi için: F_s,max ≥ G → 0,8 · F ≥ 20 → F ≥ 25 N

Her Bir Kuvvet Değeri İçin Analiz:

F = 10 N:

F < 25 N → Kitap dengede kalamaz, aşağı kayar.
Kinetik sürtünme kuvveti: F_k = k_k · N = 0,6 · 10 = 6 N
Net kuvvet: G - F_k = 20 - 6 = 14 N (aşağı yönlü)

F = 20 N:

F < 25 N → Kitap dengede kalamaz, aşağı kayar.
Kinetik sürtünme kuvveti: F_k = 0,6 · 20 = 12 N
Net kuvvet: 20 - 12 = 8 N (aşağı yönlü)

F = 30 N:

F > 25 N → Kitap dengede kalabilir.
Statik sürtünme kuvveti: F_s = G = 20 N (ağırlığı dengeler)
Net kuvvet: 0 N (dengede)

F = 40 N:

F > 25 N → Kitap dengede kalabilir.
Statik sürtünme kuvveti: F_s = G = 20 N (ağırlığı dengeler)
Net kuvvet: 0 N (dengede)

Uygulanan Kuvvetin Büyüklüğü	Sürtünme Kuvvetinin Cinsi	Sürtünme Kuvvetinin Büyüklüğü	Kitabın Hareket Durumu
10 N	Kinetik	6 N	Aşağı kayar
20 N	Kinetik	12 N	Aşağı kayar
30 N	Statik	20 N	Dengede kalır
40 N	Statik	20 N	Dengede kalır

Sonuç: Kitabın dengede kalabilmesi için uygulanan kuvvetin en az 25 N olması gerekir. 10 N ve 20 N'da kitap kayar (kinetik sürtünme), 30 N ve 40 N'da ise dengede kalır (statik sürtünme = ağırlık = 20 N).

Önemli Not: Düşey duvarda, sürtünme kuvveti her zaman cismin ağırlığını dengelemeye çalışır. Cisim dengede ise statik sürtünme kuvveti tam olarak ağırlığa eşittir ve uygulanan kuvvetten bağımsızdır (yeterince büyük olduğu sürece).

Sürtünme Kuvveti - Özet

Statik Sürtünme

Hareket yoksa: F_s = uygulanan kuvvet (veya ağırlık)

Kinetik Sürtünme

Hareket varsa: F_k = k_k · N

Önemli

Statik sürtünme kuvveti, uygulanan kuvvete eşit ve zıt yöndedir (harekete kadar).

Hatırlatma: Bir cisim dengede kalıyorsa, sürtünme kuvveti cismin ağırlığını (veya uygulanan kuvveti) dengeler. Hareket başladığında ise kinetik sürtünme kuvveti devreye girer ve genellikle daha küçüktür.

24-25. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Sürtünme Kuvveti

Sayfa 139

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Sürtünme Kuvveti Problemleri ve Grafik Yorumlama

Soru 24: Üst Üste Konulan K ve L Cisimleri

Birlikte hareket eden cisimlerde sürtünme kuvveti

Şekildeki gibi üst üste konan K ve L cisimlerinin kütleleri sırasıyla 1 kg ve 4 kg, cisimler arasındaki statik sürtünme katsayısı ise 0,6'dır. Aslı, L cismine bağladığı bir ip yardımıyla sistemi yatay F kuvveti ile +x yönünde çekiyor.

L cismi ile yatay düzlem arasındaki sürtünme kuvveti ihmal edildiğine göre cisimlerin birlikte hareket etmesini sağlayan en küçük kuvvet değeri kaç N'dur?

(K cismi L cisminin üzerinden kaymamaktadır. g = 10 N/kg alınız.)

K ve L cisimlerinin üst üste konumu

Soru: Cisimlerin birlikte hareket etmesini sağlayan en küçük kuvvet değeri kaç N'dur?

Çözüm:

Analiz:

Soruda "en küçük kuvvet değeri" sorulduğu için, K cisminin L üzerinden kaymaya başladığı sınır durumu incelenmelidir. Bu durumda K cismine etki eden sürtünme kuvveti, maksimum statik sürtünme kuvvetine eşittir.

Sistem birlikte hareket ederken, K cismini hızlandıran tek kuvvet, L ile arasındaki sürtünme kuvvetidir.

1. Adım: Maksimum Statik Sürtünme Kuvveti (K ve L arası):

K cisminin ağırlığı: G_K = m_K · g = 1 · 10 = 10 N

Normal kuvvet (K ile L arası): N = G_K = 10 N

Maksimum statik sürtünme kuvveti:

F_s,max = k_s · N = 0,6 · 10 = 6 N

2. Adım: K Cisminin Maksimum İvmesi:

K cismine etki eden net kuvvet, maksimum statik sürtünme kuvvetidir (6 N). Bu kuvvetin K cismine kazandırabileceği maksimum ivme:

a_maks = F_s,max / m_K

a_maks = 6 / 1

a_maks = 6 m/s²

3. Adım: Sistemi Hızlandıran En Küçük Kuvvet:

K ve L cisimleri birlikte hareket ettiğinde, toplam kütle üzerinden Newton'ın İkinci Yasası uygulanır:

F = (m_K + m_L) · a_maks

F = (1 + 4) · 6

F = 5 · 6

F = 30 N

Cevap: Cisimlerin birlikte hareket etmesini sağlayan en küçük kuvvet değeri 30 N'dur. Bu değerin altındaki kuvvetlerde K cismi L üzerinden kayar.

Soru 25: Sürtünme Kuvveti - Uygulanan Kuvvet Grafiği

Grafik yorumlama ve sürtünme kuvveti ilişkisi

Aşağıda sürtünme kuvveti-uygulanan kuvvet arasındaki ilişkiyi gösteren bir grafik verilmiştir.

Sürtünme kuvveti - Uygulanan kuvvet grafiği

Buna göre

a) A noktasında cisme uygulanan kuvvet ile sürtünme kuvveti arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A) F_uygulanan > F_statik B) F_uygulanan = F_statik C) F_statik = 0 D) F_statik > F_uygulanan E) F_uygulanan = 0

Çözüm:

Grafikte A noktası, statik bölgede yer almaktadır. Statik bölgede cisim hareketsizdir ve uygulanan kuvvet, statik sürtünme kuvveti tarafından dengelenir.

Bu nedenle A noktasında: F_uygulanan = F_statik

Doğru Seçenek: B) F_uygulanan = F_statik

b) B noktasında cisme uygulanan kuvvet ile sürtünme kuvveti arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A) F_kinetik = 0 B) F_uygulanan = 0 C) F_kinetik > F_uygulanan D) F_uygulanan > F_kinetik E) F_uygulanan = F_kinetik

Çözüm:

Grafikte B noktası, kinetik bölgede yer almaktadır. Kinetik bölgede cisim hareket halindedir ve sürtünme kuvveti sabit bir değere (F_k) sahiptir.

B noktasında uygulanan kuvvet, kinetik sürtünme kuvvetinden büyüktür. Çünkü cisim ivmeli hareket eder. Yani: F_uygulanan > F_kinetik

Doğru Seçenek: D) F_uygulanan > F_kinetik

Sürtünme Kuvveti - Özet

Statik Bölge

F_uygulanan = F_statik (Hareket yok)

Kinetik Bölge

F_uygulanan > F_kinetik (Hareket var)

Birlikte Hareket

F = (m_K + m_L) · a

Önemli

Statik sürtünme, uygulanan kuvvetle artar.

Hatırlatma: Sürtünme kuvveti-uygulanan kuvvet grafiğinde, statik bölgede sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşittir (doğrusal artar). Maksimum statik sürtünme kuvvetine ulaşıldığında cisim harekete geçer ve kinetik bölgede sürtünme kuvveti sabit kalır.

26. Soru: Hareket Durumları İncelemesi

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Newton'ın Hareket Yasaları

Sayfa 140

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Kuvvet ve Hız Vektörlerinin Hareket Üzerindeki Etkisi

26. Soru: Tahta Blokların Hareket Durumları

Kuvvet ve hız vektörlerinin yönlerine göre hareket analizi

Aşağıda verilen tahta blokların ilk hız ve kuvvet vektörlerini göz önünde bulundurarak yatay bir düzlem üzerindeki hareket durumlarını inceleyiniz. Ulaştığınız sonuçlara göre tabloyu doldurunuz.

Çözüm ve Analiz:

Temel Kavramlar:

İvme: Net kuvvetin yönünde oluşur. Hız vektörü ile aynı yönde ise hızlanma, zıt yönde ise yavaşlama olur.
Denge: Net kuvvet sıfırsa cisim ya durur ya da sabit hızla hareketine devam eder (Newton'ın I. Yasası).
Dik Kuvvet: Harekete dik yönde uygulanan kuvvet, hızın büyüklüğünü değiştirmez; sadece yönünü değiştirir (bu soruda sürtünme ihmal edildiği için).

Bloklar ve Verilen Durumlar	Hareket Durumları
1 Sürtünmesiz düzlemde durgun bloğa yatay F kuvveti uygulanıyor. Durgun haldeki cisme yatay yönde net bir kuvvet etki ediyor.	Hızlanan hareket yapar. Durgun cisim, kuvvet yönünde ivme kazanır ve hızı sürekli artar.
2 Sürtünmesiz düzlemde +x yönünde ϑ hızıyla hareket eden bloğa, harekete zıt yönde F kuvveti uygulanıyor. Cisim sağa gidiyor, kuvvet sola doğru etki ediyor.	Yavaşlayan hareket yapar. Kuvvet, hızın zıt yönünde olduğu için cismin hızını azaltır.
3 Sürtünmesiz düzlemde +x yönünde ϑ hızıyla hareket eden bloğa, harekete dik (aşağı) yönde F kuvveti uygulanıyor. Cisim sağa gidiyor, kuvvet aşağı doğru etki ediyor. (Sürtünme ihmal edildiği için dik kuvvet hızı etkilemez.)	Sabit hızlı hareket yapar. Dik kuvvet, hızın büyüklüğünü değiştirmez. Yatay yönde net kuvvet sıfırdır.
4 Yatay düzlemde ϑ hızıyla ilerleyen bloğa etki eden sürtünme kuvveti ile harekete yönünde uygulanan kuvvet eşit büyüklüktedir. Sürtünme kuvveti F_s (sola) ile uygulanan kuvvet F (sağa) eşit büyüklükte.	Sabit hızlı hareket yapar (dengelenmiş kuvvetler). Net kuvvet sıfır olduğu için cisim mevcut hızını korur.

Sonuç:

Durum 1: Hızlanan hareket (net kuvvet hareket yönünde).
Durum 2: Yavaşlayan hareket (net kuvvet harekete zıt yönde).
Durum 3: Sabit hızlı hareket (harekete dik kuvvet hızı etkilemez).
Durum 4: Sabit hızlı hareket (net kuvvet sıfır, kuvvetler dengelenmiş).

Kuvvet ve Hareket - Özet

Hızlanma

Net kuvvet, hız ile aynı yönde ise

Yavaşlama

Net kuvvet, hıza zıt yönde ise

Sabit Hız

Net kuvvet sıfır veya harekete dik ise

Önemli

Harekete dik kuvvet hızın büyüklüğünü değiştirmez.

Hatırlatma: Bir cismin hareket durumu, üzerine etki eden net kuvvetin yönüne ve büyüklüğüne bağlıdır. Net kuvvet sıfırsa cisim dengededir (durur veya sabit hızla hareket eder). Net kuvvet varsa cisim ivmeli hareket yapar.

27. Soru: Dinamometre Okumaları

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Denge ve Kuvvet Analizi

Sayfa 141

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Dengede Olan Sistemlerde Dinamometre Değerleri

27. Soru: Dört Farklı Dengedeki Sistem

Dinamometrelerin gösterdiği değerlerin hesaplanması

Yer çekimi ivmesi büyüklüğünün 10 N/kg olduğu bir ortamda aşağıdaki şekillerde verilen tüm sistemler dengededir.

D₁, D₂, D₃ ve D₄ dinamometrelerinin bağlı olduğu sistemler

Soru: Buna göre D₁, D₂, D₃ ve D₄ dinamometrelerinin gösterdiği değerleri hesaplayarak aşağıdaki tabloya yazınız.

Çözüm:

Temel Bilgi:

Her bir topun ağırlığı: G = m · g = 3 · 10 = 30 N

D₁ Dinamometresi:

Sistemde iki adet 3 kg'lık top, iki ayrı makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Dinamometre, bu iki topu birbirine bağlayan yatay ip üzerindedir.

Sistem dengede olduğuna göre, dinamometreye etki eden kuvvet, toplardan birinin ağırlığına eşittir. (Diğer top, sistemi dengeleyen karşı ağırlık görevi görür.)

D₁ = G = 30 N

D₁ = 30 N

D₂ Dinamometresi:

Sistemde bir adet 3 kg'lık top, bir makara üzerinden yatay bir ipe bağlanmıştır. Bu yatay ipin diğer ucu duvara sabitlenmiştir ve dinamometre bu ip üzerindedir.

Sistem dengede olduğu için, ipteki gerilme kuvveti topun ağırlığına eşittir. Dinamometre de bu gerilme kuvvetini okur.

D₂ = G = 30 N

D₂ = 30 N

D₃ Dinamometresi:

Sistemde iki adet 3 kg'lık top, hareketli bir makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Dinamometre ise tavana asılı olup, hareketli makarayı taşımaktadır.

Hareketli makara sisteminde, makarayı taşıyan ipteki gerilme kuvveti, yüklerin toplam ağırlığının yarısına eşittir. Ancak burada dinamometre doğrudan makarayı taşıdığı için, dinamometrenin okuduğu değer, iki topun toplam ağırlığına eşittir. (Çünkü dinamometre, makara üzerinden geçen ipin iki kolundaki gerilme kuvvetlerinin toplamını taşır. Her bir koldaki gerilme 30 N olduğundan toplam 60 N'dur.)

D₃ = 2 · G = 2 · 30 = 60 N

D₃ = 60 N

D₄ Dinamometresi:

Sistemde 3 kg'lık bir cisim, sürtünmesiz 30° eğimli bir eğik düzlem üzerinde, bir dinamometreye bağlı olarak dengede tutulmaktadır. Dinamometre eğik düzleme paralel konumdadır.

Dinamometrenin okuduğu değer, cismin ağırlığının eğik düzleme paralel bileşenine eşittir:

G_x = m · g · sin30°

G_x = 3 · 10 · 0,5

G_x = 15 N

D₄ = 15 N

Dinamometre	Sistem Açıklaması	Okunan Değer
D₁	İki top, iki makara, yatay dinamometre	30 N
D₂	Bir top, bir makara, duvara sabit yatay dinamometre	30 N
D₃	İki top, hareketli makara, tavana asılı dinamometre	60 N
D₄	3 kg cisim, 30° eğik düzlem, paralel dinamometre	15 N

Sonuç: D₁ = 30 N, D₂ = 30 N, D₃ = 60 N, D₄ = 15 N.

Önemli Not: Makara sistemlerinde, dinamometrenin bağlandığı yere göre okunan değer değişir. Sabit makaralarda gerilme kuvveti yükün ağırlığına eşittir. Hareketli makarayı taşıyan dinamometre ise toplam yükü (iki kat gerilmeyi) okur.

Makara Sistemleri ve Denge - Özet

Sabit Makara

Kuvvetten kazanç sağlamaz. İpteki gerilme = Yükün ağırlığı.

Hareketli Makara

Kuvvetten kazanç sağlar. İpteki gerilme = Yükün ağırlığının yarısı.

Dinamometre

Bağlı olduğu ipteki gerilme kuvvetini okur.

Eğik Düzlem

Dengedeki kuvvet = m·g·sinα

Hatırlatma: Dengedeki sistemlerde net kuvvet sıfırdır. Dinamometrenin okuduğu değer, üzerine etki eden toplam gerilme kuvvetine eşittir. Hareketli makaralarda ise yükü taşıyan ip kollarının sayısına dikkat edilmelidir.

28. Soru: Mustafa Öğretmen'in Makara Deneyi

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Newton'ın Hareket Yasaları ve Makara Sistemleri

Sayfa 142

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Makara Sistemlerinde İvme, Süre ve İp Gerilmesi Karşılaştırması

28. Soru: A-B ve A-C Makara Sistemleri

Kütle değişiminin ivme, süre ve gerilmeye etkisi

Mustafa Öğretmen, sınıfta bir gösteri deneyi yapıyor. Deneyde A ve B cisimlerini bir ip yardımıyla makaradan geçirip, birbirine bağlayarak aşağıdaki görselde verilen I. düzeneği oluşturuyor. Sistemi serbest bırakan Mustafa Öğretmen, öğrencilerden B cisminin yere çarpma süresini (t₁) bir sürelör ile ölçmelerini istiyor.

Mustafa Öğretmen, daha sonra B cisminin yerine daha büyük kütleli C cismini II. düzenekteki gibi bağlıyor. Sistemi serbest bıraktıktan sonra öğrencilerinden cismin yere çarpma süresini (t₂) ölçmelerini istiyor.

Şekil I: A-B sistemi, Şekil II: A-C sistemi

Buna göre

a) B cisminin yere çarpma süresi (t₁) ile C cisminin yere çarpma süresi (t₂) karşılaştırınız.

Çözüm:

Analiz:

Her iki sistemde de A cismi masanın üzerinde, B veya C cismi ise makaradan sarkıtılmıştır. Sistem serbest bırakıldığında, sarkan cisim aşağı yönde ivmeli hareket yapar. Bu ivme, sistemin toplam kütlesine ve sarkan cismin ağırlığına bağlıdır:

a = (m_sarkan · g) / (m_A + m_sarkan)

C cismi, B cisminden daha büyük kütleli olduğu için (m_C > m_B):

C sistemindeki ivme (a₂), B sistemindeki ivmeden (a₁) daha büyüktür.
İvme büyüdükçe, aynı yükseklikten (h) düşen cismin yere çarpma süresi kısalır.

Bu nedenle C cismi yere daha kısa sürede çarpar: t₂ < t₁

Cevap: C cismi B cisminden daha ağır olduğu için sistemin ivmesi daha büyük olur ve C cismi yere daha kısa sürede çarpar. Yani t₂ < t₁'dir.

b) Şekil I ve Şekil II'deki iplerde oluşan T₁ ve T₂ gerilme kuvvetlerinin büyüklüklerini karşılaştırınız.

Çözüm:

Analiz:

İpteki gerilme kuvveti, sarkan cismin ağırlığından küçüktür (çünkü cisim aşağı yönde ivmelenmektedir):

T = m_sarkan · (g - a)

Her iki sistem için de aynı A cismi kullanıldığından, T gerilmesi sarkan cismin kütlesine ve sistemin ivmesine bağlıdır. Cismin kütlesi arttıkça (m_C > m_B), hem ağırlık hem de ivme artar. Ancak ağırlıktaki artış, ivmedeki artıştan daha baskındır. Bu nedenle C sistemindeki gerilme kuvveti daha büyüktür.

Alternatif olarak, T = m_A · a bağıntısını da kullanabiliriz. A cismi her iki sistemde de aynıdır. C sistemindeki ivme (a₂) daha büyük olduğu için, T₂ = m_A · a₂ > T₁ = m_A · a₁ olur.

Sonuç olarak: T₂ > T₁

Cevap: C cismi daha ağır olduğu için sistemin ivmesi daha büyüktür. A cismi aynı kaldığından, A'yı çeken gerilme kuvveti de daha büyük olur. Yani T₂ > T₁'dir.

c) Mustafa Öğretmen, deneyi yer çekimi ivmesi değerinin daha büyük olduğu bir bölgede tekrarlarsa ivme ve ipteki gerilme kuvveti değerleri nasıl değişir?

Çözüm:

İvme Değişimi:

İvme formülü: a = (m_sarkan · g) / (m_A + m_sarkan)

Formülden görüldüğü gibi, ivme doğrudan yer çekimi ivmesi (g) ile doğru orantılıdır. g değeri büyürse, ivme de büyür.

İp Gerilmesi Değişimi:

İp gerilmesi: T = m_sarkan · (g - a)

a = (m_sarkan · g) / (m_A + m_sarkan) ifadesini yerine koyarsak:

T = m_sarkan · g · [1 - m_sarkan/(m_A + m_sarkan)]

T = m_sarkan · g · [m_A/(m_A + m_sarkan)]

Bu ifadede, kütleler sabitken T gerilmesi de g ile doğru orantılıdır. g değeri büyürse, T gerilmesi de büyür.

Ancak şu önemli noktayı belirtmek gerekir: g arttığında hem ağırlık hem de ivme artar. Ama T/(m·g) oranı sabit kalır. Yani gerilmenin ağırlığa oranı değişmez, ancak mutlak değeri artar.

Cevap: Yer çekimi ivmesi (g) daha büyük olduğunda:

İvme artar (a, g ile doğru orantılı).
İpteki gerilme kuvveti artar (T, g ile doğru orantılı).

Ek Bilgi: Sistemin ivmesi, sarkan cismin ağırlığı ile doğru orantılıdır. Yer çekimi ivmesi arttıkça sarkan cismin ağırlığı da artacağı için sistem daha hızlı ivmelenir. Bu durumda cisim yere daha kısa sürede çarpar.

Makara Sistemleri - Özet

İvme Formülü

a = (m_sarkan · g) / (m_A + m_sarkan)

İp Gerilmesi

T = m_A · a = m_sarkan · (g - a)

Düşme Süresi

h = ½ · a · t² → t = √(2h/a)

Önemli

Kütle artarsa ivme ve gerilme artar, süre kısalır.

Hatırlatma: Sabit makaralı sistemlerde, sarkan cismin kütlesi arttıkça sistemin ivmesi ve ipteki gerilme kuvveti artar. Yer çekimi ivmesinin büyük olduğu ortamlarda ise hem ivme hem de gerilme kuvveti artar, bu da cisimlerin daha kısa sürede yere çarpmasına neden olur.

29-30. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Çembersel Hareket ve Limit Hız

Sayfa 143

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Çembersel Hareket ve Akışkanlarda Direnç Kuvveti

Soru 29: Asansör Hız Düzenleyicisi

Çembersel harekette açısal hız ve merkezcil kuvvet

Bir asansörün güvenliğini sağlayan hız düzenleyicisi, yatay düzlemde ortak bir mile bağlı ve simetrik olarak dönen iki adet 2 kg'lık kütleden oluşmaktadır. Bu kütleler, normal çalışma durumunda dönme ekseninden 10 cm uzakta dönmektedir. Kütleleri bu konumda tutan yayın yay sabiti k = 800 N/m'dir. Asansörün hızı belirli bir sınırı aştığında kütleler, dönme ekseninden 12 cm uzaklığa ulaşmaktadır. Bu noktada kütleler, bir anahtara temas ederek asansörün acil durum fren sistemini devreye sokmaktadır.

Buna göre fren sisteminin devreye girdiği andaki hız düzenleyicisinin açısal hızı kaç rad/s büyüklüğündedir?
(Sürtünmeleri ihmal ediniz.)

Çözüm:

Veriler:

Kütle: m = 2 kg
İlk konum yarıçapı: r₁ = 10 cm = 0,1 m
Son konum yarıçapı: r₂ = 12 cm = 0,12 m
Yay sabiti: k = 800 N/m
Yayın uzama miktarı: Δx = r₂ - r₁ = 0,12 - 0,1 = 0,02 m

Kuvvet Analizi:

Fren sisteminin devreye girdiği anda, kütleler r₂ = 0,12 m yarıçapta dönmektedir. Bu konumda kütleleri tutan yay, Δx = 0,02 m kadar uzamıştır. Yayın uyguladığı geri çağırıcı kuvvet, kütlelerin çembersel hareket yapabilmesi için gerekli olan merkezcil kuvveti sağlar.

Yay kuvveti: F_yay = k · Δx = 800 · 0,02 = 16 N

Bu kuvvet, merkezcil kuvvete eşittir:

F_merkezcil = m · ω² · r₂

16 = 2 · ω² · 0,12

Hesaplama:

16 = 0,24 · ω²

ω² = 16 / 0,24

ω² = 66,67

ω ≈ 8,16 rad/s

Cevap: Fren sisteminin devreye girdiği andaki hız düzenleyicisinin açısal hızı yaklaşık 8,16 rad/s'dir.

Önemli Not: İki kütle simetrik olarak döndüğü için, her bir kütleye etki eden yay kuvveti aynıdır. Sistemin toplam merkezcil kuvveti, iki kütlenin merkezcil kuvvetlerinin toplamına eşittir. Ancak soruda açısal hız (ω) her iki kütle için de aynı olduğundan, tek bir kütle üzerinden hesaplama yapmak yeterlidir.

Soru 30: Karahindiba Tohumunun Limit Hızı

Akışkanlarda direnç kuvveti ve limit hız modeli

Karahindiba; genellikle yol kenarlarında, tarla ve bahçelerde kendiliğinden yetişen sarı çiçekli ve yabani bir bitki türüdür. Olgunlaştığında karahindibanın çiçekleri, paraşüt benzeri ince tüylerle çevrili küçük tohumlara dönüşür. Yer çekimi ivmesinin g, sürtünme katsayısının k olduğu hava ortamında zamanla bu tüyler yere düşmektedir. Karahindiba tohumunun kütlesi m, hareket doğrultusundaki en geniş yüzey alanı A'dır.

Karahindiba tohumu

Buna göre

a) Karahindiba tohumunun limit hızının büyüklüğünü veren matematiksel modeli limit hızın bağlı olduğu değişkenler cinsinden yazınız.

Çözüm:

Limit Hız Kavramı:

Bir cisim akışkan içinde düşerken, hızı arttıkça akışkanın gösterdiği direnç kuvveti de artar. Direnç kuvveti, cismin ağırlığına eşit olduğunda net kuvvet sıfır olur ve cisim sabit hızla düşmeye başlar. Bu hıza limit hız (v_limit) denir.

Kuvvetlerin Dengesi:

F_direnç = G

Akışkanlarda direnç kuvveti genellikle şu modelle ifade edilir:

F_direnç = k · A · v_limit²

Cismin ağırlığı: G = m · g

Denge durumunda:

k · A · v_limit² = m · g

v_limit² = (m · g) / (k · A)

v_limit = √(m · g / (k · A))

Cevap: Karahindiba tohumunun limit hızının matematiksel modeli:
v_limit = √(m · g / (k · A))
Burada; m tohumun kütlesi, g yer çekimi ivmesi, k sürtünme katsayısı, A ise hareket doğrultusundaki en geniş yüzey alanıdır.

b) Serin ve nemli bir havada sürtünme katsayısı %10 ve karahindiba tohumlarının hareket doğrultusundaki en geniş yüzey alanı %25 artarsa diğer değişkenler sabit kalmak koşuluyla oluşan bu durum için limit hızın büyüklüğünün nasıl değişeceğini açıklayınız.

Çözüm:

Değişimler:

Sürtünme katsayısı: k' = k · 1,10 (%10 artış)
Yüzey alanı: A' = A · 1,25 (%25 artış)

Yeni Limit Hız:

v'_limit = √(m · g / (k' · A'))

v'_limit = √(m · g / (1,10 · k · 1,25 · A))

v'_limit = √(m · g / (1,375 · k · A))

v'_limit = v_limit / √1,375

√1,375 ≈ 1,1726

v'_limit ≈ v_limit / 1,1726 ≈ 0,853 · v_limit

Yorum:

Yeni limit hız, eski limit hızın yaklaşık %85,3'ü kadardır. Yani limit hız yaklaşık %14,7 azalır.

Bunun nedeni, hem sürtünme katsayısının hem de yüzey alanının artmasıdır. Her iki değişken de direnç kuvvetini artırır ve bu da cismin daha düşük bir hızda dengeye ulaşmasına neden olur.

Cevap: Sürtünme katsayısı %10 ve yüzey alanı %25 arttığında, limit hız yaklaşık %14,7 azalır. Yani tohum daha yavaş düşer.

c) Karahindibanın dünya genelinde geniş alanlara yayılması ile limit hız arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

Çözüm:

Yayılma ve Limit Hız İlişkisi:

Karahindiba tohumlarının rüzgarla geniş alanlara yayılabilmesi için, havada uzun süre kalabilmeleri gerekir. Bunun için de limit hızlarının mümkün olduğunca küçük olması gerekir.

Limit hız formülü incelendiğinde:

v_limit = √(m · g / (k · A))

Limit hızı küçültmek için:

Kütle (m) küçük olmalıdır.
Yüzey alanı (A) büyük olmalıdır.

Karahindiba tohumları, çok hafif (küçük m) ve geniş yüzey alanına sahip (büyük A) paraşüt benzeri tüylere sahiptir. Bu sayede limit hızları çok küçük olur ve rüzgarla çok uzak mesafelere taşınabilirler. Bu adaptasyon, karahindibanın dünya genelinde geniş alanlara yayılmasını sağlar.

Cevap: Karahindiba tohumlarının limit hızı ne kadar küçükse, havada o kadar uzun süre kalır ve rüzgarla o kadar uzağa taşınır. Bu nedenle tohumların hafif kütlesi ve geniş yüzey alanı, bitkinin geniş alanlara yayılmasını sağlayan en önemli adaptasyonlardır.

Limit Hız ve Çembersel Hareket - Özet

Merkezcil Kuvvet

F = m · ω² · r

Limit Hız

v_limit = √(m·g / (k·A))

Direnç Kuvveti

F_direnç = k · A · v²

Önemli

Limit hızda net kuvvet sıfırdır (F_direnç = G).

Hatırlatma: Limit hız, bir cismin akışkan içinde ulaşabileceği maksimum hızdır. Bu hızda cisme etki eden net kuvvet sıfırdır; yani direnç kuvveti cismin ağırlığına eşittir. Limit hız; cismin kütlesine, yüzey alanına, ortamın sürtünme katsayısına ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.

31-32. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Limit Hız ve Çembersel Hareket

Sayfa 144

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Limit Hız Karşılaştırması ve Dönen Salıncak Problemleri

Soru 31: Eşit Kütleli Cisimlerin Limit Hızları

Limit hızın yüzey alanına bağlılığı

Eşit kütleli K, L, M ve N katı cisimlerinin boyutları şekilde verilmiştir. Cisimler aynı ortamda eşit yükseklikten serbest bırakıldıktan belli bir süre sonra limit hıza ulaşmaktadır.

K, L, M ve N cisimleri

Buna göre aşağıda verilen ifadelerin başına ifade doğru ise "D", yanlış ise "Y" yazınız. Yanlış olduğunu düşündüğünüz ifadenin doğrusunu "Açıklama" bölümüne yazınız.

Çözüm:

Temel Bilgi:

Limit hız formülü: v_limit = √(m · g / (k · A))

Kütleler eşit (m aynı), aynı ortam (k aynı), aynı yer çekimi (g aynı) olduğuna göre limit hız yalnızca hareket doğrultusundaki en geniş yüzey alanına (A) bağlıdır:

v_limit ∝ 1/√A

Yani yüzey alanı büyük olan cismin limit hızı küçük, yüzey alanı küçük olan cismin limit hızı büyük olur.

Cisimlerin Yüzey Alanları (Hareket Doğrultusuna Dik En Geniş Kesit):

K (Küp): Kenar uzunluğu 2r → Kesit alanı A_K = (2r)² = 4r²
L (Kesik Koni - üst r/2, alt r): En geniş kesit alt tabandır → A_L = π·r² ≈ 3,14r²
M (Kesik Koni - üst r, alt r/2): En geniş kesit üst tabandır → A_M = π·r² ≈ 3,14r²
N (Küre): Yarıçapı r → Kesit alanı A_N = π·r² ≈ 3,14r²

D/Y	İfadeler	Açıklama
Y	K ile L cisimlerinin limit hızlarının büyüklükleri eşittir.	A_K = 4r², A_L = πr² ≈ 3,14r²'dir. A_K > A_L olduğu için v_K < v_L'dir. Limit hızlar eşit değildir.
D	L ile N cisimlerinin limit hızlarının büyüklükleri eşittir.	A_L = πr², A_N = πr²'dir. Yüzey alanları eşit olduğu için limit hızları da eşittir.
D	M ile L cisimlerinin limit hızlarının büyüklükleri eşittir.	Her ikisinin de en geniş kesit alanı πr²'dir. Yüzey alanları eşit olduğu için limit hızları da eşittir.
Y	K cisminin limit hızı en büyüktür.	K'nın kesit alanı (4r²) en büyük olduğu için limit hızı en küçüktür. En büyük limit hız, en küçük kesit alanına sahip olan cisimlerde (L, M, N) görülür.
Y	N cisminin limit hızı en küçüktür.	N'nin kesit alanı πr² olup K'nınkinden (4r²) küçüktür. Bu nedenle N'nin limit hızı K'nınkinden büyüktür. En küçük limit hız K cismine aittir.

Sonuç: Yüzey alanı en büyük olan K'nın limit hızı en küçük, yüzey alanları eşit olan L, M ve N'nin limit hızları birbirine eşit ve K'nınkinden büyüktür.

Önemli Not: Limit hız, cismin kütlesi ile doğru, kesit alanı ile ters orantılıdır. Kütleler eşit olduğundan, sadece kesit alanı karşılaştırması yapmak yeterlidir. Ayrıca cisimlerin şekillerinin farklı olması, kesit alanlarının karşılaştırılmasında belirleyicidir.

Soru 32: Lunaparktaki Dönen Salıncak

Konik sarkaç modeli - periyot, hız ve gerilme

Sekolin isimli dönen salıncaklar, lunaparklarda bulunan eğlence araçlarındandır. Görselde verilen ve merkez eksenden 4 m uzaklıkta 7 m'lik bir zincire bağlı salıncakta oturan kişi, salıncak harekete başladıktan sonra düşey eksenle 37°'lik açı yapacak şekilde düzgün çembersel hareket yapıyor. (sin37° = 0,6; cos37° = 0,8; π = 3, g = 10 m/s² alınız.)

Üzerinde oturan kişiyle salıncağın toplam kütlesi 80 kg olduğuna ve tüm sürtünmeler ihmal edildiğine göre

Dönen salıncak düzeneği (konik sarkaç)

Buna göre

Çözüm:

Model Tanımı:

Bu düzenek konik sarkaç modelidir: Zincir düşeyle 37° açı yapar ve salıncak yatay düzlemde çembersel hareket yapar.

Önce Dönme Yarıçapını Bulalım:

Çembersel hareketin yarıçapı, zincirin yatay bileşeni ile merkez eksenden olan 4 m'lik uzaklığın toplamıdır:

r = 4 + 7·sin37° = 4 + 7·0,6 = 8,2 m

Açısal Hız (Konik Sarkaç Bağıntısı):

Düşeyde denge: T·cosθ = m·g | Merkezcil: T·sinθ = m·ω²·r

Bu iki denklemden:

tanθ = ω²·r / g → ω = √(g·tanθ / r)

tan37° = 0,6 / 0,8 = 0,75

ω = √(10 · 0,75 / 8,2) = √(7,5 / 8,2) ≈ 0,956 rad/s

a) Periyot ve Frekans:

T = 2π / ω = (2 · 3) / 0,956

T ≈ 6,27 s

f = 1 / T = 1 / 6,27

f ≈ 0,16 Hz

b) Çizgisel ve Açısal Hız:

Açısal hız:

ω ≈ 0,956 rad/s

Çizgisel hız: v = ω · r

v = 0,956 · 8,2

v ≈ 7,84 m/s

c) Zincirdeki Gerilme Kuvveti:

Düşey yönde kuvvet dengesi: T·cos37° = m·g

T = m·g / cos37° = (80 · 10) / 0,8

T = 1000 N

Kontrol (Merkezcil Yön):

T·sin37° = 1000 · 0,6 = 600 N

Öte yandan: m·ω²·r = 80 · (0,956)² · 8,2 ≈ 80 · 0,914 · 8,2 ≈ 600 N

İki yöntem tutarlıdır. ✓

Nicelik	Sembol	Değer
Yörünge Yarıçapı	r	8,2 m
Açısal Hız	ω	0,956 rad/s
Periyot	T	6,27 s
Frekans	f	0,16 Hz
Çizgisel Hız	v	7,84 m/s
Zincir Gerilmesi	T	1000 N

Sonuç: Konik sarkaç modelinde, zincirin düşeyle yaptığı açı ve yörünge yarıçapı kullanılarak açısal hız, periyot, frekans, çizgisel hız ve gerilme kuvveti hesaplanır. Düşey denge denklemi gerilmeyi, merkezcil denklem ise açısal hızı verir.

Çembersel Hareket ve Limit Hız - Özet

Limit Hız

v = √(m·g / (k·A))

Merkezcil Kuvvet

F = m · v² / r

Periyot

T = 2πr / v = 1 / f

Açısal Hız

ω = v / r = 2π / T

Hatırlatma: Konik sarkaç problemlerinde, ip gerilmesinin düşey bileşeni ağırlığı dengelerken, yatay bileşeni merkezcil kuvveti sağlar. Limit hızda ise direnç kuvveti tam olarak ağırlığa eşit olur ve net kuvvet sıfırdır.

33-34. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Limit Hız ve Çembersel Hareket

Sayfa 145

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Limit Hız ve Tümsek Köprüde Normal Kuvvet

Soru 33: Helikopterden Bırakılan Tohum Topları

Limit hız kavramı ve net kuvvet analizi

Bir çevre projesi kapsamında yangın sonrası ağaçsız kalan dik bir yamaca helikopterle tohum topları bırakılıyor. Bu tohum toplarının zarar görmeden toprağa ulaşması ve doğru derinliğe saplanması için limit hız kavramı hayati önem taşımaktadır.

Buna göre

a) Yerden 250 m yükseklikteki bir helikopterden bırakılan küre şeklindeki bir tohum topu, bir süre hızlandıktan sonra limit hıza ulaşmaktadır.

Tohum topu limit hıza ulaştığı anda tohum topunun üzerindeki net kuvveti açıklayınız.

Çözüm:

Limit Hız Kavramı:

Bir cisim akışkan (hava) içinde düşerken, hızı arttıkça havanın gösterdiği direnç kuvveti de artar. Direnç kuvveti, cismin ağırlığına eşit olduğunda cisim üzerindeki net kuvvet sıfır olur ve cisim sabit hızla düşmeye başlar. Bu hıza limit hız denir.

Kuvvet Analizi:

Tohum topuna etki eden kuvvetler:

Ağırlık (G = m·g): Aşağı yönlü.
Hava direnci (F_direnç): Yukarı yönlü (harekete zıt).

Limit hızda:

F_direnç = G

Yani: F_net = G - F_direnç = 0

Cismin ivmesi sıfır olur ve cisim sabit hızla (limit hız) düşer.

Cevap: Tohum topu limit hıza ulaştığı anda üzerindeki net kuvvet sıfırdır. Çünkü hava direnci kuvveti, tohum topunun ağırlığına eşit büyüklükte ve zıt yöndedir. Bu nedenle tohum topu sabit hızla düşer.

b) Tohum topunun daha kısa sürede yere ulaşması istendiğinde hangi özellikleri nasıl değiştirilmelidir? Nedenini açıklayınız.

Çözüm:

Limit Hız Formülü:

v_limit = √(m · g / (k · A))

Burada:

m: Tohum topunun kütlesi
g: Yer çekimi ivmesi
k: Havanın sürtünme (direnç) katsayısı
A: Hareket doğrultusundaki en geniş yüzey alanı

Analiz:

Tohum topunun daha kısa sürede yere ulaşması için limit hızının artırılması gerekir. Limit hızı artırmak için:

Kütle (m) artırılmalıdır: Daha ağır tohum topu, aynı direnç kuvvetine karşı daha yüksek hızda dengelenir.
Yüzey alanı (A) azaltılmalıdır: Daha küçük kesit alanı, daha az hava direnci oluşturur ve limit hızı artırır.
Daha aerodinamik bir şekil seçilmelidir: Küre yerine sivri uçlu bir şekil, direnç katsayısını (k) azaltarak limit hızı artırır.

Neden?

Limit hız, cismin kütlesiyle doğru orantılı, yüzey alanı ve direnç katsayısıyla ters orantılıdır. Kütle artırıldığında veya yüzey alanı azaltıldığında, cismin ulaşabileceği maksimum hız artar ve cisim yere daha kısa sürede ulaşır.

Cevap: Tohum topunun daha kısa sürede yere ulaşması için:

Kütlesi artırılmalı (daha yoğun malzeme kullanılmalı).
Yüzey alanı azaltılmalı (daha küçük veya aerodinamik şekil).
Böylece limit hız artar ve tohum topu yere daha kısa sürede ulaşır.

Soru 34: Tümsek Köprüden Geçen Minibüs

Çembersel harekette normal kuvvet hesabı

Sürtünmelerin ihmal edildiği bir yolda ilerleyen 1200 kg kütleli bir minibüs, O merkezli ve 20 m yarıçaplı tümsek şeklindeki köprünün en tepe noktasını 10 m/s hızla geçerek çembersel hareket yapıyor.

Minibüsün tümsek köprü üzerindeki hareketi

Köprünün en tepe noktasını geçtiği an için

a) Minibüsün yarıçap ve hız vektörünü çiziniz.

Çözüm:

Vektörlerin Gösterimi:

Hız vektörü (v): Minibüs köprünün tepe noktasında ilerlediği için hız vektörü yatay doğrultuda, hareket yönünde (sağa doğru) çizilir.

Yarıçap vektörü (r): Köprünün merkezi (O) minibüsün altında olduğu için yarıçap vektörü, merkezden minibüse doğru yani yukarı yönlü çizilir.

Hız vektörü yatay (sağa), yarıçap vektörü düşey (aşağı, O'ya doğru)

Cevap: Tepe noktasında hız vektörü yatay (hareket yönünde), yarıçap vektörü ise düşey aşağı (merkeze doğru) çizilir.

b) Minibüsün serbest cisim diyagramını çiziniz.

Çözüm:

Minibüse Etki Eden Kuvvetler:

Ağırlık (G = m·g): Aşağı yönlü (merkeze doğru).
Normal kuvvet (N): Yüzeye dik, yukarı yönlü.

Sürtünmeler ihmal edildiği için yatay yönde etki eden bir kuvvet yoktur.

Serbest cisim diyagramı: G (aşağı), N (yukarı)

Cevap: Serbest cisim diyagramında ağırlık (G, aşağı yönlü) ve normal kuvvet (N, yukarı yönlü) gösterilir.

c) Minibüse etki eden normal kuvvetin büyüklüğünü hesaplayınız. (π = 3, g = 10 m/s² alınız.)

Çözüm:

Veriler:

Kütle: m = 1200 kg
Yarıçap: r = 20 m
Hız: v = 10 m/s
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

Merkezcil Kuvvet Analizi:

Minibüs tümsek köprünün tepe noktasında çembersel hareket yapmaktadır. Merkezcil kuvvet, merkeze (aşağı) doğru yönelmiştir ve net kuvvet tarafından sağlanır:

F_merkezcil = G - N

Burada:

F_merkezcil = m·v² / r
G = m·g = 1200 · 10 = 12000 N

m·v² / r = m·g - N

N = m·g - m·v² / r

Hesaplama:

N = 1200 · 10 - 1200 · (10)² / 20

N = 12000 - 1200 · 100 / 20

N = 12000 - 6000

N = 6000 N

Cevap: Minibüse etki eden normal kuvvetin büyüklüğü 6000 N'dur.

Ek Bilgi: Tümsek köprülerde normal kuvvet, ağırlıktan küçüktür (N < G). Bu nedenle araç köprüye daha az basınç uygular. Eğer araç hızı belirli bir değeri aşarsa (N = 0 olduğunda), araç yoldan ayrılır ve savrulur. Bu kritik hız: v_kritik = √(g·r) = √(10·20) = √200 ≈ 14,1 m/s'dir.

Limit Hız ve Çembersel Hareket - Özet

Limit Hız

v_limit = √(m·g / (k·A))

Tümsek Köprü

N = m·g - m·v²/r

Çukur (Vadi)

N = m·g + m·v²/r

Kritik Hız

v_kritik = √(g·r)

Hatırlatma: Tümsek köprünün tepe noktasında normal kuvvet ağırlıktan küçüktür (N < G). Çukur bir vadinin dibinde ise normal kuvvet ağırlıktan büyüktür (N > G). Kritik hızda (v = √(g·r)) normal kuvvet sıfır olur ve araç yoldan ayrılır.

35-36. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Çembersel Hareket Uygulamaları

Sayfa 146

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Döner Kapı Periyodu ve Eğimli Virajda Maksimum Hız

Soru 35: Döner Kapıdan Geçiş

Çembersel harekette periyot ve zamanlama problemi

40 cm/s'lik sabit süratle doğrusal bir yolda ilerleyen Yaman, sabit frekansla dönmekte olan 120 cm yarıçaplı silindir şeklindeki tek girişli bir döner kapıdan kapıya temas etmeden geçiyor.

Buna göre döner kapının olası periyot değerlerini bulunuz.

Yaman'ın döner kapıdan geçişi

Çözüm:

Veriler:

Yaman'ın sürati: v = 40 cm/s = 0,4 m/s
Kapı yarıçapı: r = 120 cm = 1,2 m
Kapı çapı: 2r = 2,4 m (Yaman'ın kapı içinde kat etmesi gereken mesafe)

Yaman'ın Kapıyı Geçme Süresi:

Yaman, kapı içindeki çap doğrultusunda 2r = 2,4 m yol almalıdır. Sabit süratle:

t_geçiş = 2r / v

t_geçiş = 2,4 / 0,4

t_geçiş = 6 s

Periyot Analizi:

Döner kapının tek girişi vardır. Yaman'ın kapıya temas etmeden geçebilmesi için, kapı girişinin Yaman'ın geçiş süresi boyunca uygun konumda olması gerekir. Döner kapı her periyotta 360° döner ve giriş bir kez karşımıza gelir.

En basit durumda (n = 1): Yaman, kapının tam bir turunu tamamladığı sürede geçebilir:

T = t_geçiş = 6 s

Daha genel olarak, kapı Yaman'ın geçişi sırasında tam sayıda tur atabilir. Bu durumda Yaman'ın geçiş süresi, kapının periyodunun tam katı olmalıdır:

t_geçiş = n · T (n = 1, 2, 3, ...)

T = t_geçiş / n = 6 / n

T = 6 s, 3 s, 2 s, 1,5 s, 1,2 s, 1 s, ...

n (tur sayısı)	Periyot T (s)	Frekans f (s⁻¹)
1	6	1/6 ≈ 0,17
2	3	1/3 ≈ 0,33
3	2	0,5
4	1,5	≈ 0,67
5	1,2	≈ 0,83
6	1	1
...	...	...

Cevap: Döner kapının olası periyot değerleri T = 6/n s'dir (n = 1, 2, 3, ... pozitif tam sayılar). Yani olası periyotlar: 6 s, 3 s, 2 s, 1,5 s, 1,2 s, 1 s, ... şeklindedir.

Ek Bilgi: Yaman'ın kapıya temas etmemesi için, kapının giriş açıklığının Yaman'ın geçişi boyunca onun önünde olması gerekir. Kapı periyodu ne kadar küçük olursa (yani kapı ne kadar hızlı dönerse), Yaman'ın geçişi o kadar zorlaşır. Ancak periyot 6/n değerlerinden birine eşitse geçiş mümkündür.

Soru 36: Formula 1 Aracının Eğimli Virajı

Eğimli virajda maksimum hız ve merkezcil kuvvet

Formula 1 gibi yarışlarda araçların tasarımı kadar yarıştıkları pistlerin mühendisliği de önem taşır. Özellikle keskin virajlara verilen eğim, araçların bu zorlu bölümleri hedeflenen süratte ve maksimum güvenlikle geçebilmeleri için titizlikle hesaplanır. Yandaki görselde bir Formula 1 aracının bu tür eğimli bir virajı güvenle aldığı görülmektedir.

Bu yarış otomobilinin yarıçapı ile birlikte kütlesi 800 kg'dır ve yarıçapı 80 m olan virajın eğimi 10°'dir. (Sürtünmeleri ihmal ediniz. tan10° = 0,176 alınız.)

Formula 1 aracı eğimli virajda

Buna göre

a) Yarış otomobiline ait serbest cisim diyagramını çiziniz.

Çözüm:

Otomobile Etki Eden Kuvvetler:

Ağırlık (G = m·g): Düşey aşağı yönlü.
Normal kuvvet (N): Yüzeye dik (eğik düzleme dik) yönlü.

Sürtünmeler ihmal edildiği için başka kuvvet yoktur.

Serbest cisim diyagramı: G (aşağı), N (yüzeye dik)

Cevap: Serbest cisim diyagramında ağırlık (G, aşağı yönlü) ve normal kuvvet (N, eğik yüzeye dik yönlü) gösterilir.

b) Yarış otomobilinin virajı güvenle dönebileceği hızın maksimum değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Eğimli Viraj Analizi:

Sürtünmenin ihmal edildiği eğimli bir virajda, merkezcil kuvvet yalnızca normal kuvvetin yatay bileşeni tarafından sağlanır:

N · sinθ = m · v² / r

Düşey yönde denge:

N · cosθ = m · g

Bu iki denklemi birleştirirsek:

tanθ = v² / (g · r)

Buradan maksimum hız:

v_maks = √(g · r · tanθ)

Hesaplama:

v_maks = √(10 · 80 · 0,176)

v_maks = √(140,8)

v_maks ≈ 11,87 m/s

Cevap: Yarış otomobilinin virajı güvenle dönebileceği maksimum hız yaklaşık 11,87 m/s'dir (yaklaşık 42,7 km/s).

c) Yarış otomobiline uygulanan merkezcil kuvvetin büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm:

Hesaplama:

Maksimum hızda merkezcil kuvvet:

F_merkezcil = m · v² / r

F = 800 · (11,87)² / 80

F = 800 · 140,9 / 80

F = 10 · 140,9

F_merkezcil ≈ 1409 N

Alternatif olarak: N · sinθ = m · g · tanθ = 800 · 10 · 0,176 ≈ 1408 N ✓

Cevap: Yarış otomobiline uygulanan merkezcil kuvvetin büyüklüğü yaklaşık 1409 N'dur.

Ek Bilgi: Eğimli virajlarda sürtünme kuvveti olmasa bile, virajın eğimi sayesinde araç güvenli bir şekilde dönebilir. Bu nedenle Formula 1 pistlerinde yüksek hızlı virajlar eğimli olarak tasarlanır. Eğim açısı arttıkça, aracın güvenle dönebileceği maksimum hız da artar.

Çembersel Hareket Uygulamaları - Özet

Periyot

T = 2πr / v = 1 / f

Eğimli Viraj

v_maks = √(g·r·tanθ)

Merkezcil Kuvvet

F = m·v² / r

Önemli

Sürtünmesiz eğimli virajda merkezcil kuvvet N'in yatay bileşenidir.

Hatırlatma: Eğimli virajlarda, normal kuvvetin yatay bileşeni merkezcil kuvveti sağlar. Sürtünme olmasa bile, uygun hızda araç virajı güvenle dönebilir. Hız çok yüksek olursa araç savrulur, çok düşük olursa içe doğru kayar.

37. Soru: Satürn'ün Halkalarındaki Parçacıklar

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Çembersel Hareket ve Gök Mekaniği

Sayfa 147

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Düzgün Çembersel Harekette Hız, Açısal Hız, Periyot ve İvme Karşılaştırması

37. Soru: Satürn Halkalarındaki K, L, M Parçacıkları

Yarıçapın çizgisel hız, açısal hız, periyot ve ivmeye etkisi

Bir öğrenci, Alev Alatlı'nın Schrödinger'in Kedisi (Rüya) adlı kitabında yer alan aşağıdaki paragrafı okuyor:

"Çocukluk arkadaşı Zühal'in kir pas içindeki sevimli yüzü gözlerinin önünde canlandı. Arkadaşının adaşı halkalı gezegen Satürn'ü görmek için baktı, Koç Aries'in arkasından on sekiz uydusunun refakatinde baş verdiğini gördü. Jüpiter'den küçük, dünyadan yedi elli defa daha büyük, sudan hafif Sıvı ve gazlardan oluşmuştu. Ödünç alıp oynamayı düşlediği halkası, altmış bin kilometre genişliğinde buz parçacıklarından oluşan bir kuşaktı."

Öğrenci, bu metni okuduktan sonra Satürn gezegenini merak ediyor ve araştırmaya başlıyor. Araştırma sırasında bir dergide aşağıdaki bilgilerle karşılaşıyor:

Satürn'ün buz ve tozla kaplı kayalardan oluşan yedi ana halkası olduğu bilinmektedir. Bunlar, gezegenin yüzeyine yakınlıklarına göre D, C, B, A, F, G, E olarak sıralanır. Diğer halkalara kıyasla daha parlak olan A, B, C halkalarında bulunan K, L, M buz parçalarının yarıçapları görselde olduğu gibi sırasıyla 130 000 km, 100 000 km ve 80 000 km'dir. O merkezli Satürn'ün bu halkalarında K, L, M parçaları düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Gezegenin kütlesi M, düzgün çembersel hareket yapan parçanın, gezegenin merkezine olan uzaklığı R olmak üzere gezegen etrafında dönen parçaların çizgisel sürati √(M/R) ile doğru orantılıdır.

Satürn'ün halkaları ve K, L, M parçacıkları

Satürn halkalarında K, L, M parçacıklarının konumları

Buna göre K, L, M parçacıklarının

Çözüm:

Veriler ve Temel Bilgi:

Yarıçaplar: R_K = 130 000 km, R_L = 100 000 km, R_M = 80 000 km
Yarıçap sıralaması: R_K > R_L > R_M
Çizgisel sürat bağıntısı: v ∝ √(M/R) → v = k·√(M/R)

a) Çizgisel Süratlerin Karşılaştırılması:

Çizgisel sürat bağıntısı: v ∝ √(M/R) → v = k·√(M/R) (M gezegen kütlesi sabittir)

Yani v ∝ 1/√R olduğundan, yarıçap büyüdükçe çizgisel sürat azalır.

R_K > R_L > R_M olduğuna göre:

v_K < v_L < v_M

Sayısal olarak (orantı sabiti k = 1 alınırsa):

v_K ∝ 1/√130000 ≈ 0,00277
v_L ∝ 1/√100000 ≈ 0,00316
v_M ∝ 1/√80000 ≈ 0,00354

Sonuç: v_M > v_L > v_K (Merkeze en yakın parçacığın çizgisel sürati en büyüktür.)

b) Açısal Süratlerin Karşılaştırılması:

Açısal sürat: ω = v / R

v = k·√(M/R) ifadesini yerine koyalım:

ω = k·√(M/R) / R = k·√M / R^3/2

Yani ω ∝ 1 / R^3/2 olduğundan, yarıçap büyüdükçe açısal sürat azalır.

R_K > R_L > R_M olduğuna göre:

ω_K < ω_L < ω_M

Sonuç: ω_M > ω_L > ω_K (Merkeze en yakın parçacığın açısal sürati en büyüktür.)

c) Periyotların Karşılaştırılması:

Periyot: T = 2π / ω

ω ∝ 1 / R^3/2 olduğundan T ∝ R^3/2'dir. Yani yarıçap büyüdükçe periyot artar.

R_K > R_L > R_M olduğuna göre:

T_K > T_L > T_M

Sonuç: T_K > T_L > T_M (Merkeze en uzak parçacığın periyodu en büyüktür; Kepler'in III. Yasası ile uyumludur.)

ç) Merkezcil İvmelerin Karşılaştırılması:

Merkezcil ivme: a = v² / R

v = k·√(M/R) ifadesini yerine koyalım:

a = [k²·(M/R)] / R = k²·M / R²

Yani a ∝ 1 / R² olduğundan, yarıçap büyüdükçe merkezcil ivme azalır.

R_K > R_L > R_M olduğuna göre:

a_K < a_L < a_M

Sonuç: a_M > a_L > a_K (Merkeze en yakın parçacığın merkezcil ivmesi en büyüktür.)

Nicelik	Bağıntı	Yarıçapla İlişkisi	Karşılaştırma
Çizgisel Sürat (v)	v ∝ 1/√R	R artarsa v azalır	v_M > v_L > v_K
Açısal Sürat (ω)	ω ∝ 1/R^3/2	R artarsa ω azalır	ω_M > ω_L > ω_K
Periyot (T)	T ∝ R^3/2	R artarsa T artar	T_K > T_L > T_M
Merkezcil İvme (a)	a ∝ 1/R²	R artarsa a azalır	a_M > a_L > a_K

Sonuç:

a) v_M > v_L > v_K
b) ω_M > ω_L > ω_K
c) T_K > T_L > T_M
ç) a_M > a_L > a_K

Ek Bilgi (Kepler Yasaları): Gezegenler ve uydular için geçerli olan Kepler'in III. Yasası'na göre, bir cismin yörünge periyodunun karesi, yörünge yarıçapının küpü ile doğru orantılıdır: T² ∝ R³. Bu da T ∝ R^3/2 ilişkisini doğrular. Bu nedenle Satürn'ün dış halkalarındaki parçacıklar, iç halkalardakilere göre daha uzun periyotlarla döner.

Çembersel Hareket - Özet

Çizgisel Sürat

v = 2πR / T

Açısal Sürat

ω = 2π / T = v / R

Merkezcil İvme

a = v² / R = ω² · R

Kepler III

T² ∝ R³

Hatırlatma: Merkeze yakın parçacıkların çizgisel sürati, açısal sürati ve merkezcil ivmesi daha büyük; periyodu ise daha küçüktür. Bu ilişki, gök cisimlerinin hareketini açıklayan Kepler Yasaları ile uyumludur.

38. Soru: Çembersel Rayda g Kuvveti

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Çembersel Hareket ve Düşey Düzlem

Sayfa 148

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Düşey Düzlemde Çembersel Hareket - g Kuvveti Hesabı

38. Soru: Lunapark Hız Treni ve g Kuvveti

K, L ve M noktalarında etki eden g kuvvetinin hesaplanması

Günlük hayatta özellikle pilotlarla ilgili haberlerde g kuvveti kavramından sıklıkla bahsedilir. İsminin aksine g kuvveti, bir kuvvet değil ağırlık olarak hissedilen ivmenin ölçüsüdür. Yer çekimi ivmesinin katları cinsinden ifade edilir. Dünya yüzeyinde 1 g'nin değeri yaklaşık olarak 9,8 N/kg'dır. Lunapark eğlence araçlarından olan hız trenleri, yolcuları aşırı g kuvvetlerine maruz bırakan bir sisteme sahiptir.

Şekilde verilen sistem, 25 m yükseklikten başlıyor ve 6 m yarıçaplı düşey bir döngüden oluşuyor. Sistemdeki kütlesi önemsiz vagona 50 kg kütleli Ali Yasin biniyor. Sürtünmelerin ihmal edildiği ortamda vagon ilk hızsız hareketine başlıyor.

Hız treninin düşey döngüsü ve K, L, M noktaları

Buna göre Ali Yasin'e çembersel rayın

Çözüm:

Temel Bilgiler:

Hız treninin başlangıç yüksekliği: h = 25 m
Döngü yarıçapı: r = 6 m
Yolcunun kütlesi: m = 50 kg
Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²
Enerjinin korunumu (sürtünmesiz): m·g·h = ½·m·v²
g kuvveti = N / (m·g) → (Hissedilen normal kuvvet) / (Ağırlık)

En Alt Noktadaki (K) Hız:

½·m·v_K² = m·g·h

v_K² = 2·g·h = 2 · 10 · 25 = 500

v_K = √500 ≈ 22,36 m/s

a) En Alt (K) Kısmında Etki Eden g Kuvveti:

K noktasında (en alt), merkezcil kuvvet yukarı doğrudur. Net kuvvet: N - m·g = m·v²/r

N = m·g + m·v²/r

N = 50 · 10 + 50 · 500 / 6

N = 500 + 25000 / 6

N = 500 + 4166,7

N ≈ 4666,7 N

g kuvveti:

g_K = N / (m·g) = 4666,7 / 500

g_K ≈ 9,33 g

Cevap: Ali Yasin, en alt noktada yaklaşık 9,33 g kuvvetine maruz kalır.

b) En Üst (L) Kısmında Etki Eden g Kuvveti:

L noktasındaki hız, enerjinin korunumundan bulunur. L noktası yerden 2r = 12 m yüksekliktedir:

½·m·v_L² + m·g·(2r) = m·g·h

v_L² = 2·g·(h - 2r) = 2 · 10 · (25 - 12) = 260

v_L = √260 ≈ 16,12 m/s

L noktasında (en üst), merkezcil kuvvet aşağı doğrudur. Net kuvvet: N + m·g = m·v²/r

N = m·v²/r - m·g

N = 50 · 260 / 6 - 500

N = 13000 / 6 - 500

N ≈ 2166,7 - 500

N ≈ 1666,7 N

g kuvveti:

g_L = N / (m·g) = 1666,7 / 500

g_L ≈ 3,33 g

Cevap: Ali Yasin, en üst noktada yaklaşık 3,33 g kuvvetine maruz kalır.

c) Yan yüzeyinde (M) etki eden g kuvvetini hesaplayınız.

c) Yan Yüzeyde (M) Etki Eden g Kuvveti:

M noktası, L ile K arasında orta yüksekliktedir (r = 6 m yükseklikte). Bu noktadaki hız:

½·m·v_M² + m·g·r = m·g·h

v_M² = 2·g·(h - r) = 2 · 10 · (25 - 6) = 380

v_M = √380 ≈ 19,49 m/s

M noktasında (yan), merkezcil kuvvet yataydır ve normal kuvvet tarafından sağlanır. Ağırlığın merkezcil kuvvete katkısı yoktur:

N = m·v²/r

N = 50 · 380 / 6

N = 19000 / 6

N ≈ 3166,7 N

g kuvveti:

g_M = N / (m·g) = 3166,7 / 500

g_M ≈ 6,33 g

Cevap: Ali Yasin, yan yüzeyde (M) yaklaşık 6,33 g kuvvetine maruz kalır.

Nokta	Konum	Hız (m/s)	Normal Kuvvet N (N)	g Kuvveti
K	En alt	22,36	4666,7	≈ 9,33 g
M	Yan	19,49	3166,7	≈ 6,33 g
L	En üst	16,12	1666,7	≈ 3,33 g

Sonuç:

a) K (en alt): N ≈ 4666,7 N → g ≈ 9,33 g
b) L (en üst): N ≈ 1666,7 N → g ≈ 3,33 g
c) M (yan): N ≈ 3166,7 N → g ≈ 6,33 g

Ek Bilgi: Çembersel rayın en alt noktasında (K), normal kuvvet hem ağırlığı dengelemeli hem de merkezcil kuvveti sağlamalıdır. Bu nedenle N = mg + mv²/r olur ve g kuvveti en büyüktür. En üst noktada (L) ise ağırlık merkezcil kuvvete yardımcı olur: N = mv²/r - mg. Bu nedenle g kuvveti en küçüktür. Pilotlar ve hız treni yolcuları, yüksek g kuvvetlerine maruz kaldıklarında bayılma veya bilinç kaybı yaşayabilirler.

Düşey Düzlemde Çembersel Hareket - Özet

En Alt Nokta

N = mg + mv²/r
(g kuvveti en büyük)

En Üst Nokta

N = mv²/r - mg
(g kuvveti en küçük)

Yan Nokta

N = mv²/r
(Ağırlık merkezcil kuvvete katkı sağlamaz)

g Kuvveti

g kuvveti = N / (mg)

Hatırlatma: Düşey düzlemde çembersel hareket yapan bir cisim için normal kuvvet, noktanın konumuna göre değişir. En alt noktada normal kuvvet (ve dolayısıyla g kuvveti) en büyük, en üst noktada en küçüktür. Yolcuların maruz kaldığı g kuvveti, sağlık açısından önemlidir; yüksek g değerleri bayılmaya neden olabilir.

39-40. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · Limit Hız ve Hava Direnci

Sayfa 149

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

Paraşütle İniş ve Bisiklette Hava Direnci Uygulamaları

Soru 39: Selim ve Berra'nın Paraşüt İnişi

Limit hız ve doğru/yanlış değerlendirmesi

Selim ve Berra, rüzgârsız bir havada aynı uçaktan ağırlığı önemsiz paraşütle atlıyorlar. Belli bir süre sonra paraşütlerini açarak eşit büyüklükte sabit hızla inişe geçiyorlar.

Buna göre aşağıda verilen ifadelerin başına ifade doğru ise "D", yanlış ise "Y" yazınız. Yanlış olduğunu düşündüğünüz ifadenin doğrusunu "Açıklama" bölümüne yazınız.

Çözüm:

Temel Bilgi:

Paraşütle sabit hızla iniş, limit hız durumudur. Limit hızda net kuvvet sıfırdır: hava direnci kuvveti = ağırlık.

F_direnç = m · g = k · A · v_limit²

Buradan: v_limit = √(m·g / (k·A)) (k: hava direnci katsayısı, A: paraşütün yüzey alanı)

D/Y	İfadeler	Açıklama
D	Selim'in kütlesi Berra'nın kütlesinden büyük olabilir.	İkisi de aynı limit hızla indiğine göre, farklı kütle ve yüzey alanı kombinasyonlarıyla bu mümkündür. Örneğin Selim daha ağır ama daha büyük paraşüt kullanıyorsa limit hızları eşit olabilir.
D	Berra'nın paraşütünün yüzey alanı, Selim'in paraşütünün yüzey alanına eşit olabilir.	Eğer kütleleri eşitse ve aynı limit hızla iniyorlarsa, paraşüt yüzey alanları da eşit olabilir. Soruda kütlelerin eşit olduğu belirtilmediği için bu bir olasılıktır.
Y	Selim ile Berra'nın ağırlıkları kesinlikle eşittir.	Ağırlıkların eşit olduğu kesin değildir. Farklı kütlelerde olsalar bile, farklı paraşüt yüzey alanlarıyla aynı limit hıza ulaşabilirler.
Y	Her ikisine uygulanan hava direnç kuvvetleri eşittir.	Limit hızda hava direnci kuvveti cismin ağırlığına eşittir (F_direnç = m·g). Kütleler farklıysa ağırlıklar ve dolayısıyla hava direnci kuvvetleri de farklıdır. Eşit olmaları için kütlelerinin eşit olması gerekir.
Y	Yere yaklaştıkça her ikisi de yavaşlamaya başlar.	Paraşütlerini açtıktan sonra sabit hızla (limit hızla) indikleri belirtilmiştir. Limit hızda net kuvvet sıfırdır ve hız sabit kalır. Yere yaklaşırken yavaşlamazlar.

Sonuç: İlk iki ifade (kütle ve yüzey alanı hakkındaki olasılıklar) doğru (D), diğer üç ifade ise yanlış (Y)'tır ve açıklamalarıyla düzeltilmiştir.

Soru 40: Bisiklet Yarışında Hava Direnci

Hava direncini azaltmaya yönelik stratejiler

Türkiye'nin prestijli spor organizasyonlarından biri olan "Cumhurbaşkanlığı Uluslararası Bisiklet Turu"nda sporcuların hızı arttıkça karşılaştıkları en büyük engel hava direnç kuvveti olmaktadır. Bazı durumlarda bir yarışçı düz bir yolda pedal çevirirken belirli bir hıza ulaştığında ne kadar güç harcarsa harcasın hızı artmamaktadır. Yarışçılar, bu durumun olumsuz etkisini azaltmak için bazı önlemler almaktadır.

Buna göre

a) Yarışlarda sporcular, öndeki bisikletçinin hemen arkasına tek sıra hâlinde dizilirler.

Arkadaki bisikletçinin öndekiyle aynı hızı korurken çok daha az enerji harcamasının sebebini açıklayınız.

Çözüm:

Hava Direnci ve Drafting (Rüzgar Perdesi) Olayı:

Bisikletçi ilerlerken havayı yararak ilerler ve arkasında türbülanslı, düşük basınçlı bir bölge (hava akımı gölgesi) oluşturur. Öndeki bisikletçinin hemen arkasına giren sporcu, bu düşük dirençli bölgede ilerler.

Yani arkadaki bisikletçiye etki eden hava direnci kuvveti önemli ölçüde azalır. Hava direnci kuvveti azaldığı için aynı hızı korumak için harcaması gereken enerji de azalır.

Bu tekniğe bisiklet sporunda drafting (rüzgar perdesi / hava akımından yararlanma) denir.

Cevap: Öndeki bisikletçi, arkasında düşük basınçlı ve daha az türbülanslı bir hava akımı bölgesi oluşturur. Arkadaki bisikletçi bu bölgede ilerlediği için hava direnci kuvveti azalır. Hava direnci azaldığı için aynı hızı korumak için harcanan enerji de azalır. Bu olaya drafting denir.

b) Bir bisikletçi, yokuş aşağı inerken hızını artırmak için sele üzerine kapanır ve kollarını içeri büker.

Sporcunun kütlesi değişmediği hâlde sadece vücut pozisyonunu değiştirerek daha yüksek bir limit hıza ulaşmasını sağlayan nedir? Açıklayınız.

Çözüm:

Limit Hız Formülü:

v_limit = √(m·g / (k·A))

Formülden görüldüğü gibi limit hız; kütle (m), yer çekimi ivmesi (g) ve direnç katsayısı (k) sabit kaldığında yüzey alanı (A) ile ters orantılıdır.

Sporcu sele üzerine kapanıp kollarını içeri bükerken, hava akımına karşı maruz kalan kesit alanını (A) azaltır. Kesit alanı azaldıkça hava direnci azalır ve ulaşılabilecek limit hız artar.

Bu nedenle sporcu, kütlesini değiştirmeden sadece pozisyonunu değiştirerek daha yüksek bir limit hıza ulaşabilir.

Cevap: Sporcu vücut pozisyonunu değiştirerek hava akımına karşı maruz kalan kesit alanını (A) azaltır. Limit hız formülüne göre (v_limit ∝ 1/√A) yüzey alanı azaldıkça limit hız artar. Böylece sporcu kütlesini değiştirmeden daha yüksek bir hıza ulaşır.

c) Sporcuların damla şeklinde kasklar kullanmasının temel nedenini açıklayınız.

Çözüm:

Aerodinamik Şeklin Önemi:

Hava direnci kuvveti hem cismin kesit alanına (A) hem de şeklinin aerodinamik yapısına (direnç katsayısı, k) bağlıdır.

Yuvarlak (küresel) bir kask, hava akımını düzgün bir şekilde yönlendiremez ve arkasında büyük bir türbülans (girdap) oluşturur. Bu da direnç katsayısını (k) artırır.

Damla şeklindeki (aerodinamik) kask ise hava akımını düzgün bir şekilde yararak ilerler ve arkasında daha küçük bir türbülans bölgesi oluşturur. Bu, direnç katsayısını (k) azaltır.

Direnç katsayısı azaldığı için hava direnci kuvveti azalır ve sporcu aynı güçle daha yüksek hıza ulaşabilir.

Cevap: Damla şeklindeki kasklar aerodinamik yapıya sahiptir; hava akımını düzgün bir şekilde yönlendirerek arkalarında daha küçük türbülans oluştururlar. Bu sayede direnç katsayısı (k) azalır, hava direnci kuvveti azalır ve sporcu daha yüksek hıza ulaşabilir.

Limit Hız ve Hava Direnci - Özet

Limit Hız

v_limit = √(m·g / (k·A))

Drafting

Hava akımı gölgesinden yararlanma

Aerodinamik Şekil

Direnç katsayısını (k) azaltır

Önemli

Limit hız, kesit alanı ile ters orantılıdır.

Hatırlatma: Hava direnci kuvveti; cismin hızının karesi, kesit alanı ve direnç katsayısı ile doğru orantılıdır: F_direnç = k·A·v². Limit hız, direnç kuvveti ağırlığa eşit olduğunda ulaşılan hızdır. Sporcular, kesit alanını küçülterek ve aerodinamik şekiller kullanarak limit hızlarını artırabilirler.