11. Sınıf Fizik - 1. Ünite: Kuvvet ve Hareket - 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfalara Git

Ünite İçeriğine Dön

1. Etkinlik: Serbest Düşme Hareketi

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 16-18

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

1. Etkinlik: Serbest Düşme Hareketi

Amaç, süre, araç-gereç ve yönerge

Amaç	Serbest düşme hareketi yapan cisimlerin ivmesine yönelik tümevarımsal akıl yürütebilme
Süre	35 dk.
Araç Gereç	genel ağ bağlantısı olan cihaz
Yönerge	Aşağıda verilen basamakları takip ederek etkinliği gerçekleştiriniz. Etkinliği tamamladıktan sonra "Değerlendirme" kısmında istenen posteri hazırlayınız ve "Öz Değerlendirme Formu"nu doldurunuz. Hazırlayacağınız poster, öğretmeniniz tarafından "Dereceli Puanlama Anahtarı" ile değerlendirilecektir.

Simülasyon ve Gözlem

1. ve 2. adımlar

Yandaki karekoddan yararlanarak serbest düşme hareketi ile ilgili simülasyona ulaşınız.
Farklı kütleye sahip basketbol, bowling, futbol, tenis ve golf topları ile cam bilyenin yapmış olduğu serbest düşme hareketini gözlemleyip oluşan veri setini inceleyiniz.

Simülasyon Karekodu

Farklı Kütleli Cisimlerin Düşme Süreleri

Süreler arasındaki farklılık veya benzerliklerin nedenleri

Farklı kütleye sahip basketbol, bowling, futbol, tenis ve golf topları ile cam bilyenin ortalama yere düşme sürelerini karşılaştırınız. Süreler arasındaki farklılık veya benzerliklerin nedenlerini sınıf arkadaşlarınızla saygı çerçevesinde tartışarak aşağıdaki alana yazınız.

Tartışma Sonucu:

Teorik Beklenti: Hava direncinin ihmal edildiği (havasız ortam) ideal durumda, tüm cisimler kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme ile (yer çekimi ivmesi g ≈ 9,8 m/s²) düşerler ve aynı yükseklikten aynı sürede yere ulaşırlar.

Gerçek Durum (Hava Direnci): Gerçek hayatta hava direnci olduğu için, yüzey alanı/hacim oranı büyük olan (hafif ve geniş yüzeyli) cisimler (örn. tenis topu, cam bilye) hava direncinden daha çok etkilenir ve daha yavaş düşer. Kütlesi büyük, yüzey alanı görece küçük cisimler (örn. bowling topu) hava direncinden daha az etkilenir ve daha hızlı düşer.

Sonuç: Havasız ortamda tüm cisimler aynı sürede düşer. Hava ortamında ise düşme süresi; kütle, şekil ve yüzey alanı gibi faktörlere bağlı olarak değişir. Bu etkinlikte hava direnci nedeniyle farklı süreler gözlemlenmiştir.

t, 2t ve 3t Anlarındaki Konumlar

Havasız ortamda serbest bırakılan cisimler

Havasız bir ortamda aynı yükseklikten ve aynı anda ilk hızsız olarak serbest bırakılan tenis topu, golf topu ve cam bilyenin t, 2t ve 3t anlarındaki konumlarını aşağıdaki şekil üzerinde gösteriniz. Daha sonra bu anlarda cisimlerin hız büyüklüklerini belirleyerek ilgili konumların yanına yazınız.

Çözüm:

Havasız ortamda serbest düşme hareketi yapan tüm cisimler, kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme ile (g) düşer. Dolayısıyla tüm cisimler t, 2t, 3t anlarında aynı konumda olurlar. Aynı anda aynı yükseklikten bırakıldıkları için şekildeki tüm kutucuklar eşit yükseklikleri göstermelidir.

Sonuç: Havasız ortamda tüm cisimler aynı ivmeyle düştüğü için t, 2t, 3t anlarında tüm cisimler aynı konumdadır. Hız büyüklükleri de aynı olur.

İvme, Kütle ve Boyut İlişkisi

Eleştirel bakış açısıyla tartışma

Serbest bırakılan cisimlerin ivmeleri ile kütle ve boyutları arasındaki ilişkiye yönelik düşüncelerinizi sınıf ortamında arkadaşlarınızla eleştirel bir bakış açısıyla tartışınız. Tartışma sırasında kendi görüşlerinizi ve bu görüşleri destekleyen gerekçeleri açıkça ifade ediniz. Varsa karşıt görüşleri gerekçeleriyle değerlendiriniz. Tartışma sonucunda ulaştığınız çıkarımları aşağıya yazınız.

Tartışma Çıkarımı:

Havasız Ortam: Serbest düşme hareketinde cismin ivmesi kütlesine ve boyutlarına bağlı değildir. Tüm cisimler aynı ivme (g ≈ 9,8 m/s²) ile düşer.
Hava Ortamı: Hava direnci devreye girdiğinde ivme kütle, şekil ve yüzey alanına bağlı olarak değişir. Kütlesi büyük, yüzey alanı küçük cisimler daha az etkilenir.
Sonuç: İdeal (havasız) durumda ivme kütle ve boyuttan bağımsızdır. Gerçek durumda ise hava direnci nedeniyle bu faktörler etkili olur.

Önemli Not: Bu etkinlikte hava direncinin etkisi göz ardı edilmiştir. Gerçek hayatta hava direnci, düşen cisimlerin ivmesini etkileyen önemli bir faktördür.

Yer Çekimi İvmesinin Hız Değişimine Etkisi

Ortak çıkarım ve gerekçeler

Yer çekimi ivmesinin cisimlerin hızındaki değişime etkisini sınıf arkadaşlarınızla tartışınız. Değerlendirmeleriniz sonucunda ulaştığınız ortak çıkarımı gerekçeleriyle aşağıya yazınız.

Ortak Çıkarım:

Yer çekimi ivmesi (g), serbest düşen bir cismin hızını her saniye 9,8 m/s artırır. Bu, cismin hızının zamanla doğrusal olarak arttığı anlamına gelir.

Matematiksel İfade: v = g · t (ilk hız sıfır ise). Burada g = 9,8 m/s² alınırsa, t saniye sonra hız v = 9,8t m/s olur.

Serbest Düşme İvmesi Neye Bağlıdır?

Sonuç ve açıklama

Serbest düşme hareketi yapan cisimlerin ivmesi nelere bağlıdır? Açıklayınız.

Çözüm:

Havasız Ortamda: Serbest düşme ivmesi yalnızca yer çekimi ivmesine (g) bağlıdır. Cismin kütlesine, şekline, boyutuna bağlı değildir.
Dünya Üzerinde: g değeri; yerin merkezine olan uzaklığa (rakım), Dünya'nın şekline (ekvator-kutup farkı) ve yerel jeolojik yapıya bağlı olarak çok küçük farklılıklar gösterir.
Hava Ortamında: Hava direnci nedeniyle ivme; cismin kütlesine, şekline ve yüzey alanına da bağlı hale gelir.

Sonuç: İdeal durumda serbest düşme ivmesi sadece yer çekimi ivmesine (g) bağlıdır ve tüm cisimler için aynıdır. Gerçek durumda hava direnci de etkilidir.

Değerlendirme ve Öz Değerlendirme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 18

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Değerlendirme

Poster hazırlama ve öz değerlendirme formu

Serbest düşme hareketi ile ilgili bir poster hazırlayarak sınıf arkadaşlarınıza sununuz. Hazırlayacağınız poster öğretmeniniz tarafından "Dereceli Puanlama Anahtarı" ile değerlendirilecektir. "Dereceli Puanlama Anahtarı"na karekoddan yararlanarak ulaşabilirsiniz.

Dereceli Puanlama Anahtarı Karekodu

Aşağıda verilen "Öz Değerlendirme Formu"nu doldurunuz.

Öz Değerlendirme Formu

Öğrencinin Adı ve Soyadı:

Numarası:

Bu form, kendinizi değerlendirmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Çalışmalarınızı en doğru yansıtan seçeneği "✔" ile işaretleyiniz. Bu formda işaretlediğiniz "Kısmen" ve "Hayır" seçeneklerine ait davranışlardaki eksiklerinizi tamamlayınız.

Davranışlar	Evet	Kısmen	Hayır
1. Etkinlik yönergelerini eksiksiz ve doğru bir biçimde izledim.
2. Etkinlikte sorulan sorulara doğru cevap verdim.
3. Serbest düşme hareketi yapan cisimlerin ivmelerine yönelik genellemeler yaptım.
4. Etkinlik boyunca zamanı verimli kullandım.
5. Arkadaşlarımın fikirlerine saygı gösterdim.
6. Etkinlikte öğrendiklerimi günlük hayatta kullanabilirim.

Etkinlikte gerçekleştirdiğiniz çalışmaları dikkate alarak görüşlerinizi aşağıda verilen alanlara yazınız.

1. Bu etkinlikten öğrendiklerim

Serbest düşme yapan cisimlerin eşit zaman aralıklarında (h, 3h, 5h...) farklı yollar aldığını ve hızlarının her saniye düzenli olarak arttığını öğrendim. Ayrıca hava direnci ihmal edildiğinde tüm cisimlerin kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme ile düştüğünü kavradım.

2. Bu etkinlik sırasında en iyi yaptıklarım

Arkadaşlarımla grup çalışması yaparak fikir alışverişinde bulunmak ve yönergeleri takip ederek etkinliği zamanında bitirmeye çalışmak.

3. Bu etkinlik sırasında en çok zorlandıklarım

Serbest düşme hareketindeki ivme kavramını ve formüllerle ilgili genellemeleri ilk başta anlamakta biraz zorlandım.

Etkinlikte gerçekleştirdiğiniz çalışmaları dikkate alarak görüşlerinizi aşağıda verilen alanlara yazınız.

1. Bu etkinlikten öğrendiklerim

2. Bu etkinlik sırasında en iyi yaptıklarım

3. Bu etkinlik sırasında en çok zorlandıklarım

Alıştırmalar

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 20

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

1. Alıştırma: Kozalak ve Yem

Net kuvvetler, düşey uzaklık ve yer çekimi ivmesi

Bir ağacın dalına tünemiş olan kuş, üst dallardan kopan 50 g kütleli bir kozalak yanından geçerken ağzındaki 5 g kütleli yemi düşürüyor. (Hava direncini ihmal ediniz.)

Buna göre

a) Hareketin herhangi bir anında kozalak ve yeme etki eden net kuvvetleri karşılaştırınız.

Çözüm:

Kozalağa etki eden net kuvvet: F_net,kozalak = m₁ · g = 50 · g
Yeme etki eden net kuvvet: F_net,yem = m₂ · g = 5 · g
Kozalağın kütlesi, yemin kütlesinden büyük olduğu için kozalağa etki eden net kuvvet daha büyüktür.

Cevap: Herhangi bir anda kozalağa etki eden net kuvvet, yeme etki eden net kuvvetten 10 kat daha büyüktür (50g / 5g = 10). Çünkü net kuvvet cismin kütlesiyle doğru orantılıdır.

b) Kozalak ve yem arasındaki düşey uzaklık zamanla değişir mi? Açıklayınız.

Çözüm:

Hava direnci ihmal edildiği için her iki cisim de yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisindedir.
Dolayısıyla her ikisi de aynı ivme (g) ile düşer.
İki cisim aynı anda ve aynı ilk hızla (sıfır) düşmeye başladığı için, aynı zaman aralıklarında aynı miktarda yol alırlar.
Bu nedenle aralarındaki düşey uzaklık değişmez, sabit kalır.

Cevap: Hayır, kozalak ve yem arasındaki düşey uzaklık zamanla değişmez. Her iki cisim de aynı ivme (g) ile düştüğü için aralarındaki mesafe sabit kalır.

c) Bu olay yer çekimi ivmesinin daha büyük olduğu bir ortamda gerçekleşseydi kozalağın yere çarpma hızı ve süresi değişir miydi? Açıklayınız.

Çözüm:

Yere çarpma hızı (v): v = g · t formülüne göre, yer çekimi ivmesi (g) arttığında aynı düşme süresi için hız artar.
Düşme süresi (t): h = ½ · g · t² formülüne göre, aynı yükseklikten düşen cisim için g arttığında süre azalır.
Sonuç: Yer çekimi ivmesinin daha büyük olduğu bir ortamda kozalak yere daha kısa sürede ve daha büyük bir hızla çarpar.

Cevap: Evet, değişirdi. Yer çekimi ivmesi arttığında düşme süresi azalır, yere çarpma hızı ise artar.

2. Alıştırma: Su Dolu Bardak

Serbest düşme ve suyun davranışı

Fatma, kâğıttan bir bardağın tabanına kurşun kalemi kullanarak bir delik açıyor. Daha sonra deliği eliyle kapatıyor ve bardağı su ile dolduruyor. Fatma, tabanında delik bulunan içi su dolu kâğıttan bardağı, belli bir yükseklikten serbest bırakıyor ve arkadaşı Ayşe'den bardaktaki suyun akıp akmadığını gözlemlemesini istiyor.

Buna göre Ayşe'nin Fatma'ya vereceği cevabı sebepleri ile yazınız.

Çözüm:

Serbest Düşme Analizi:

Bardak serbest bırakıldığında hem bardak hem de içindeki su aynı ivme (g) ile düşer.
Su ve bardak aynı ivmeye sahip oldukları için birbirlerine göre bağıl hareketleri yoktur.
Bu nedenle su, bardağın tabanındaki delikten dışarı akmaz. Su, bardağın içinde asılı kalır.

Ayşe'nin Cevabı: "Hayır, bardaktaki su akmaz. Çünkü bardak ve su aynı ivme ile serbest düşme yaptığı için su, bardağa göre hareketsiz kalır ve delikten dışarı akmaz."

Ek Açıklama: Bu olay, ağırlıksızlık durumunun bir örneğidir. Serbest düşme sırasında cisimler arasında bağıl ivme farkı olmadığı için sıvılar deliklerden akmaz.

Serbest Düşme - Önemli Bilgiler

Düşme Süresi

h = ½ · g · t²
Yüksekliğe ve g'ye bağlıdır.

Yere Çarpma Hızı

v = g · t = √(2gh)
Kütleden bağımsızdır.

Bağıl Hareket

Aynı ivmeyle düşen cisimler arasında bağıl hareket yoktur.

Hatırlatma: Hava direnci ihmal edildiğinde tüm cisimler kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme (g ≈ 9,8 m/s²) ile düşer.

2. Etkinlik: Serbest Düşme Hareketi ile İlgili Veri Setleri

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 21-22

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

2. Etkinlik: Serbest Düşme Hareketi ile İlgili Veri Setleri

Amaç, süre, araç-gereç ve yönerge

Amaç	Serbest düşme hareketi ile ilgili kanıt kullanabilme
Süre	35 dk.
Araç Gereç	genel ağ bağlantısı olan cihaz
Yönerge	Aşağıda verilen basamakları takip ederek etkinliği gerçekleştiriniz. Etkinliği tamamladıktan sonra "Değerlendirme" kısmında istenen raporu hazırlayınız. Hazırlayacağınız rapor, öğretmeniniz tarafından "Dereceli Puanlama Anahtarı" ile değerlendirilecektir.

İlk Hızsız Serbest Düşme (v₀ = 0)

1-4. adımlar: Simülasyon ve veri seti oluşturma

Yandaki karekoddan yararlanarak "Düşey Eksende Serbest Düşen Cisimlerin Hareketi" isimli simülasyona ulaşınız.
Ekranın solunda yer alan ok işaretini yukarı doğru çekerek topun yüksekliğini artırınız.
Ekranın sağ kısmında yer alan namlu aşağı butonuna tıklayarak namluyu yere dik olacak konuma getiriniz.
Topun konumunu değiştirerek hız, ivme, yer değiştirme ve zaman değişkenleri ile ilgili veri setleri oluşturunuz.

Simülasyon Karekodu

4. Adım: İlk Hızsız Serbest Düşme Veri Setleri

Veri Seti	I. Veri	II. Veri	III. Veri
Yükseklik (m)	20	40	135
Başlangıç hızı (m/s)	0	-10	-30
Yere düşme süresi (s)	2	2	3
Yere çarpma hızı (m/s)	-20	-30	-60
Yer çekimi ivmesi (m/s²)	-10	-10	-10

Not: Hesaplamalarda yer çekimi ivmesi g = 10 m/s² alınmıştır.

Grafikler (İlk Hızsız Serbest Düşme)

Hız-zaman, ivme-zaman ve konum-zaman grafikleri

İvmeli hareket grafiklerini dikkate alarak oluşturduğunuz veri setleri üzerinden hız-zaman, ivme-zaman ve konum-zaman grafiklerini aşağıdaki alana çiziniz.

Hız - Zaman (v-t)

hız-zaman veri - 1

hız-zaman veri - 2

hız-zaman veri - 3

Konum - Zaman (x-t)

konum-zaman veri - 1

konum-zaman veri - 2

konum-zaman veri - 3

İvme - Zaman (a-t)

ivme-zaman veri - 1

ivme-zaman veri - 2

ivme-zaman veri - 3

İlk Hızlı Düşey Atış (v₀ ≠ 0)

6-8. adımlar: İlk hız verilerek veri seti oluşturma

Simülasyon ekranının sol alt köşesinde yer alan oku kullanarak topun yere inmesini sağlayınız.
Ekranın sağ kısmında yer alan namlu yukarı butonuna tıklayarak namluyu yere dik olacak konuma getiriniz.
Cismin başlangıç hızını değiştirerek ivme, yer değiştirme ve zaman değişkenleri ile ilgili veri setleri oluşturunuz.

8. Adım: İlk Hızlı Düşey Atış Veri Setleri

Veri Seti	I. Veri	II. Veri	III. Veri
Yükseklik (m)	5	45	80
Başlangıç hızı (m/s)	10	30	40
Yere düşme süresi (s)	2	6	8
Yere çarpma hızı (m/s)	-10	-30	-40
Yer çekimi ivmesi (m/s²)	-10	-10	-10

Not: Hesaplamalarda yer çekimi ivmesi g = 10 m/s² alınmıştır.

Grafikler (İlk Hızlı Düşey Atış)

Hız-zaman, ivme-zaman ve konum-zaman grafikleri

İvmeli hareket grafiklerini dikkate alarak oluşturduğunuz veri setleri üzerinden hız-zaman, ivme-zaman ve konum-zaman grafiklerini aşağıdaki alana çiziniz.

Hız - Zaman (v-t)

hız-zaman veri - 1

hız-zaman veri - 2

hız-zaman veri - 3

ivme - Zaman (x-t)

ivme-zaman veri - 1

ivme-zaman veri - 2

ivme-zaman veri - 3

Konum - Zaman (a-t)

Konum-zaman veri - 1

Konum-zaman veri - 2

Konum-zaman veri - 3

Düşey Doğrultuda Serbest Düşen Bir Cismin Hareketinin Açıklanması

Verilerden ve grafiklerden yararlanarak açıklama

Elde ettiğiniz verilerden ve çizmiş olduğunuz grafiklerden yararlanarak düşey doğrultuda serbest düşen bir cismin hareketini açıklayınız. Açıklamalarınızı yaparken serbest düşmenin sadece yer çekimi etkisindeki hareketlerin ortak adı olduğunu unutmayınız.

Açıklama:

Serbest düşme hareketi, hava direncinin ihmal edildiği ortamlarda cisimlerin yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisinde yaptığı ivmeli harekettir.

İlk hızı sıfır olan bir cisim her saniye hızını yer çekimi ivmesi (g) kadar artırır: v = g · t
Alınan yol ise her ardışık saniyede h, 3h, 5h, 7h... şeklinde tek sayı oranında artış gösterir: h = ½ · g · t²
Cisim aşağı yönlü ilk hızla (v₀ ≠ 0) bırakıldığında ise hareketine sıfırdan değil, o anki ilk hızıyla başlar ve son hız bağıntısı v = v₀ + g · t şeklinde güncellenir.
Ortamda hava direnci olmadığı sürece cismin kütlesi yere düşme süresini veya ivmesini etkilemez.

Sonuç: Serbest düşme hareketi, yer çekimi ivmesinin (g) neden olduğu, hızın zamanla düzenli arttığı ve konumun zamanın karesiyle orantılı değiştiği bir ivmeli hareket türüdür.

Değerlendirme

Rapor hazırlama

Düşey düzlemde ilk hızı sıfır ve ilk hızı sıfırdan farklı serbest düşen cisimlerin hareketini açıklayan kısa bir rapor hazırlayınız.

Hazırladığınız rapor, öğretmeniniz tarafından "Dereceli Puanlama Anahtarı" ile değerlendirilecektir. "Dereceli Puanlama Anahtarı"na karekoddan yararlanarak ulaşabilirsiniz.

Dereceli Puanlama Anahtarı Karekodu

Rapor İçeriği İçin Öneriler: Raporunuzda serbest düşme hareketinin tanımı, ilk hızsız ve ilk hızlı durumlar için hareket denklemleri, grafiklerin yorumlanması ve hava direncinin etkisi gibi konulara yer verebilirsiniz.

Serbest Düşme - Önemli Formüller

Hız

v = g · t
v = v₀ + g · t

Yol

h = ½ · g · t²
h = v₀ · t + ½ · g · t²

Zamansız Hız

v² = 2 · g · h
v² = v₀² + 2 · g · h

Düşme Süresi

t = √(2h/g)
(İlk hızsız durum)

Hatırlatma: Serbest düşmede cisim kütlesi düşme süresini ve ivmeyi etkilemez (hava direnci ihmal edildiğinde).

3. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 25

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

3. Alıştırma: Dağcı ve Kaya Parçası

Serbest düşme hareketi problemleri

Bir dağcı, 180 m yükseklikteki bir uçurumun kenarından bir kaya parçasını serbest bırakıyor. (Hava direnci ihmal edilecek, g = 10 m/s² alınacaktır.)

Buna göre

a) Kaya parçasının kopma anından 2 s sonraki yerden yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: 2 saniyede alınan yolu bulalım:

h = ½ · g · t²

h = ½ · 10 · (2)² = 5 · 4 = 20 m

2. Adım: Kalan yüksekliği bulalım:

H_kalan = 180 - 20 = 160 m

Cevap: Kaya parçasının 2 s sonra yerden yüksekliği 160 m'dir.

b) Yere ulaştığı anda kaya parçasının hız büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Toplam düşme süresini bulalım:

H = ½ · g · t²

180 = ½ · 10 · t²

180 = 5 · t² → t² = 36 → t = 6 s

2. Adım: Yere çarpma hızını bulalım:

v = g · t

v = 10 · 6 = 60 m/s

Cevap: Kaya parçasının yere çarpma hızı 60 m/s'dir.

c) Kaya parçasının hareketine ait konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Veri Noktaları:

Konum - Zaman:

t = 0 s → x = 180 m
t = 2 s → x = 160 m
t = 6 s → x = 0 m (yere çarpar)

Hız - Zaman:

t = 0 s → v = 0 m/s
t = 2 s → v = 20 m/s
t = 6 s → v = 60 m/s

Konum - Zaman (x-t)

Hız - Zaman (v-t)

Yorum: Konum-zaman grafiği parabol şeklindedir (konum, zamanın karesiyle azalır). Hız-zaman grafiği ise doğrusal bir doğrudur ve eğimi yer çekimi ivmesini (g = 10 m/s²) verir.

Serbest Düşme - Önemli Formüller

Hız

v = g · t

Yol

h = ½ · g · t²

Zamansız Hız

v² = 2 · g · h

4. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 25

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

4. Alıştırma: Kuyu ve Ses

Serbest düşme ve sesin yayılması problemi

Bir kuyunun ağzından serbest bırakılan taşın suya çarpma sesi, taş bırakıldıktan 3,15 s sonra duyulmaktadır. Sesin havadaki yayılma hızı 300 m/s, yer çekimi ivmesi g = 10 m/s² alınacaktır. (Hava direncini ihmal ediniz.)

Kuyu kesit görseli

Soru: Su yüzeyinin kuyunun ağzına olan düşey uzaklığı (kuyunun derinliği) kaç metredir?

Çözüm:

1. Adım: Değişkenlerin tanımlanması

Kuyunun derinliği (su yüzeyinin kuyunun ağzına olan düşey uzaklığı): h
Taşın serbest düşme süresi: t_taş
Sesin kuyunun dibinden yukarı çıkış süresi: t_ses
Toplam süre: t_toplam = t_taş + t_ses = 3,15 s

2. Adım: Sürelerin denkleme dökülmesi

Taş (serbest düşme):

h = ½ · g · t_taş² = ½ · 10 · t_taş² = 5t_taş²

Ses (sabit hız):

h = v_ses · t_ses = 300 · t_ses

3. Adım: Denklemlerin eşitlenmesi

5t_taş² = 300 · t_ses

t_taş² = 60 · t_ses

Toplam süre bağıntısından: t_ses = 3,15 - t_taş

t_taş² = 60 · (3,15 - t_taş)

t_taş² = 189 - 60t_taş

t_taş² + 60t_taş - 189 = 0

4. Adım: İkinci dereceden denklemin çözümü

Çarpanlarına ayırma yöntemiyle (+63 ve -3):

(t_taş + 63)(t_taş - 3) = 0

Süre negatif olamayacağı için t_taş = 3 s

5. Adım: Kuyu derinliğinin (h) hesaplanması

h = 5 · (t_taş)²

h = 5 · (3)²

h = 5 · 9 = 45 m

Cevap: Su yüzeyinin kuyunun ağzına olan düşey uzaklığı 45 metre'dir.

Kullanılan Formüller

Taş (Serbest Düşme)

h = ½ · g · t_taş²

Ses (Sabit Hız)

h = v_ses · t_ses

Toplam Süre

t_toplam = t_taş + t_ses

Hatırlatma: Bu problemde iki farklı hareket vardır: Taşın serbest düşme hareketi ve sesin sabit hızlı hareketi. Her iki hareket de aynı yüksekliği (h) kullanır.

5. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 27

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler (Düşey Atış)

5. Alıştırma: Düşey Atış Hareketi

Topun havada kalma süresi, grafikler ve hız hesaplamaları

Nurcan, elinde bulunan topu düşey yukarı doğru 20 m/s ilk hızla atıyor. Top, atıldığı seviyeye geri dönmektedir. (Hava direncini ihmal ediniz, g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Topun havada kalma süresini hesaplayarak belli zaman aralıkları için zaman, konum ve hız değerlerini içeren veri setini oluşturunuz.

Çözüm:

1. Adım: Havada kalma süresinin hesaplanması

Yukarı çıkış süresi: v₀ = g · t_çıkış → 20 = 10 · t_çıkış → t_çıkış = 2 s

Toplam havada kalma süresi: t_toplam = 2 · t_çıkış = 2 · 2 = 4 s

2. Adım: Zaman, konum ve hız veri seti

Zaman (s)	Konum (m)	Hız (m/s)
0	0	+20 (yukarı)
1	15	+10 (yukarı)
2 (Tepe)	20	0
3	15	-10 (aşağı)
4 (Dönüş)	0	-20 (aşağı)

Cevap: Topun havada kalma süresi 4 s'dir. Veri seti yukarıdaki tabloda verilmiştir.

b) Topun hareketine ait konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Konum - Zaman (x-t)

Hız - Zaman (v-t)

Yorum: Konum-zaman grafiği parabol şeklindedir (tepe noktası t=2 s, x=20 m). Hız-zaman grafiği ise doğrusal olup eğimi -10 m/s² (yer çekimi ivmesi) değerindedir.

c) Nurcan, "Top maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı ve ivmesi sıfır olur." demiştir. Nurcan'ın görüşüne katılıyor musunuz? Gerekçeleriyle açıklayınız.

Çözüm:

Katılmıyorum.

Gerekçe:

Cisim maksimum yükseklik noktasındayken anlık olarak hızı sıfır olur.
Ancak yer çekimi kuvveti etki etmeye devam eder.
Hava direncinin ihmal edildiği ortamlarda cisme etki eden net kuvvet sadece yer çekimi kuvvetidir: F_net = m · g
Bu nedenle ivme sıfır değil, yer çekimi ivmesine eşit ve sabit bir şekilde 10 m/s² (aşağı yönlü) kadardır.

Cevap: Nurcan'ın görüşüne katılmıyorum. Maksimum yükseklikte hız sıfır olsa da ivme sıfır değildir; ivme yer çekimi ivmesine (g = 10 m/s²) eşittir.

ç) Topun Nurcan'ın elinden 5 m yukarıdaki bir noktadan geçiş hızını hesaplayınız.

Çözüm:

Zamana bağlı olmayan hız denklemi:

v² = v₀² - 2 · g · h

v² = (20)² - 2 · 10 · 5

v² = 400 - 100

v² = 300

v = √300 = 10√3 m/s ≈ 17,32 m/s

Cevap: Topun 5 m yükseklikteki geçiş hızı 10√3 m/s ≈ 17,32 m/s'dir.

Önemli Not: Top hem yukarı çıkarken hem de aşağı inerken bu noktadan iki kez geçer. Yukarı çıkarken hızı +10√3 m/s, aşağı inerken -10√3 m/s büyüklüğündedir.

Düşey Atış - Önemli Formüller

Hız

v = v₀ - g · t

Yükseklik

h = v₀ · t - ½ · g · t²

Çıkış Süresi

t_çıkış = v₀ / g

Zamansız Hız

v² = v₀² - 2 · g · h

Hatırlatma: Maksimum yükseklikte hız sıfırdır ancak ivme yer çekimi ivmesine (g) eşittir ve sabittir.

6. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 28

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler (Düşey Atış)

6. Alıştırma: Binadan Yukarı Atılan Taş

Maksimum yükseklik, süre ve hız hesaplamaları

Bir binanın çatısından yukarı doğru düşey olarak 30 m/s'lik başlangıç hızıyla bir taş atılıyor. Taş düşerken 80 m yüksekliğindeki bir binanın çatısını sıyırarak geçiyor. (Hava direncinden kaynaklanan sürtünmeleri ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız.)

Buna göre taşın

a) Maksimum yüksekliğe ulaşma süresini hesaplayınız.

Çözüm:

Maksimum yükseklikte taşın hızı sıfır olur (v = 0).

t_çıkış = v₀ / g

t_çıkış = 30 / 10 = 3 s

Cevap: Taşın maksimum yüksekliğe ulaşma süresi 3 s'dir.

b) Yerden maksimum yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Atıldığı noktadan itibaren çıkabileceği maksimum yükseklik

h_max = v₀² / (2g)

h_max = (30)² / (2 · 10) = 900 / 20 = 45 m

2. Adım: Yerden toplam maksimum yükseklik

H_yer = 80 + 45 = 125 m

Cevap: Taşın yerden maksimum yüksekliği 125 m'dir.

c) Atıldığı noktaya dönme süresini hesaplayınız.

Çözüm:

Hava direncinin olmadığı ortamda çıkış süresi = iniş süresi

t_dönüş = 2 · t_çıkış

t_dönüş = 2 · 3 = 6 s

Cevap: Taşın atıldığı noktaya dönme süresi 6 s'dir.

ç) Atıldıktan 7 s sonraki hızını ve yerden yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: 7. saniyedeki hız

Taş 6 s sonra çatıya 30 m/s hızla aşağı yönlü döner. 1 s daha düşer.

v = 30 + (g · 1) = 30 + (10 · 1)

v = 40 m/s (aşağı yönlü)

2. Adım: Çatının altındaki düşme miktarı

h₁ = v₀ · t + ½ · g · t²

h₁ = 30 · 1 + ½ · 10 · (1)² = 30 + 5 = 35 m

3. Adım: Yerden yükseklik

h_yer = 80 - 35 = 45 m

Cevap: Taşın 7. saniyedeki hızı 40 m/s (aşağı yönlü), yerden yüksekliği 45 m'dir.

d) Yere çarpma süresini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Çatıdan yere düşme süresi

h = v₀ · t + ½ · g · t²

80 = 30 · t + ½ · 10 · t²

80 = 30t + 5t²

t² + 6t - 16 = 0

(t + 8)(t - 2) = 0 → t = 2 s

2. Adım: Toplam yere çarpma süresi

t_toplam = t_çıkış + t_{iniş (çatıya)} + t_{çatıdan yere}

t_toplam = 3 + 3 + 2 = 8 s

Cevap: Taşın yere çarpma süresi 8 s'dir.

e) Taşın hareketine ait konum-zaman grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Önemli Noktalar:

t = 0 s → x = 80 m
t = 3 s → x = 125 m (tepe noktası)
t = 6 s → x = 80 m
t = 8 s → x = 0 m (yere çarpar)

Konum - Zaman (x-t)

f) Taşın hareketine ait hız-zaman grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Önemli Noktalar:

t = 0 s → v = +30 m/s
t = 3 s → v = 0 m/s
t = 6 s → v = -30 m/s
t = 8 s → v = -50 m/s

Hız - Zaman (v-t)

Yorum: Hız-zaman grafiği, eğimi sabit ve -10 m/s² olan kesintisiz azalan doğrusal bir doğrudur. Doğrunun eğimi yer çekimi ivmesini verir.

Düşey Atış - Önemli Formüller

Hız

v = v₀ - g · t

Yükseklik

h = v₀ · t - ½ · g · t²

Çıkış Süresi

t_çıkış = v₀ / g

Maks. Yükseklik

h_max = v₀² / (2g)

Hatırlatma: Düşey atışta maksimum yükseklikte hız sıfırdır ancak ivme yer çekimi ivmesine (g) eşittir ve sabittir.

7. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.1. Serbest Düşen Cisimler

Sayfa 29

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.1. Serbest Düşen Cisimler (Zıplama ve İvme)

7. Alıştırma: Zıplayan Top

Yere çarpma hızı, zıplama hızı, ivme ve sıkışma miktarı

Yer çekimi ivmesinin 10 m/s2 alındığı ve hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda bir tenis topu 1,8 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Top, sert zemine çarptıktan sonra aynı doğrultuda hareket ederek 1,25 m yükseliyor. Buna göre;

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Topun yere çarpma anındaki hızını hesaplayınız.

Çözüm:

Zamana bağlı olmayan hız denklemi:

v₁² = 2 · g · h₁

v₁² = 2 · 10 · 1,8 = 36

v₁ = 6 m/s

Cevap: Topun yere çarpma hızı 6 m/s'dir (aşağı yönlü, vektörel olarak -6 m/s).

b) Topun yukarı çıkarken yerden ayrıldıktan hemen sonraki hızını hesaplayınız.

Çözüm:

Top çarptıktan sonra h₂ = 1,25 m yükseldiğine göre:

v₂² = 2 · g · h₂

v₂² = 2 · 10 · 1,25 = 25

v₂ = 5 m/s

Cevap: Topun yerden ayrıldıktan hemen sonraki hızı 5 m/s'dir (yukarı yönlü, vektörel olarak +5 m/s).

c) Topun zeminle teması 11 ms sürdüğüne göre zeminle temas sırasındaki ivmesini hesaplayınız.

Çözüm:

Süre: Δt = 11 ms = 11 · 10⁻³ s

Hız değişimi: Δv = v₂ - v₁ = (+5) - (-6) = +11 m/s

İvme: a = Δv / Δt

a = 11 / (11 · 10⁻³) = 1000 m/s²

Cevap: Topun zeminle temas sırasındaki ivmesi 1000 m/s²'dir.

ç) Zeminin tamamen sert olduğu varsayıldığında topun zeminle teması sırasındaki sıkışma miktarını hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Ortalama hız

v_ortalama = (v₁ + v₂) / 2

v_ortalama = (6 + 5) / 2 = 5,5 m/s

2. Adım: Sıkışma miktarı

x = v_ortalama · Δt

x = 5,5 · (11 · 10⁻³)

x = 60,5 · 10⁻³ m = 0,0605 m (≈ 6,05 cm)

Cevap: Topun zeminle teması sırasındaki sıkışma miktarı 0,0605 m (yaklaşık 6,05 cm)'dir.

Kullanılan Formüller

Çarpma Hızı

v = √(2gh)

Zıplama Hızı

v = √(2gh)

İvme

a = Δv / Δt

Sıkışma

x = v_ort · Δt

Hatırlatma: Topun zeminle temas süresi çok kısa (ms) olduğu için ivme çok büyük çıkar. Bu, çarpma anında etki eden kuvvetin büyüklüğünü gösterir.