11. Sınıf Fizik - 1. Ünite: Kuvvet ve Hareket - 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfalara Git

Ünite İçeriğine Dön

3. Etkinlik: İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 30-31

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

3. Etkinlik: İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Amaç, süre, araç-gereç ve yönerge

Amaç	İki boyutta sabit ivmeli hareketin yatay ve düşey bileşenlerini ilişkilendirebilme
Süre	40 dk.
Araç Gereç	genel ağ bağlantısı olan cihaz
Yönerge	Aşağıda verilen basamakları takip ederek etkinliği gerçekleştiriniz. Etkinliği tamamladıktan sonra "Değerlendirme" kısmında istenen iddia-karşıt iddia formunu doldurunuz.

Simülasyon ve Veri Toplama

1-4. adımlar

Yandaki karekoddan yararlanarak iki boyutta sabit ivmeli hareket ile ilgili simülasyona ulaşınız.
Simülasyonda fırlatma hızını ve açısını değiştirerek farklı durumlar için hareketi gözlemleyiniz.
Her bir fırlatma için yatay ve düşey eksendeki değerleri kaydediniz.
Simülasyondan elde ettiğiniz verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Simülasyon Karekodu

4. Adım: Simülasyondan Elde Edilen Veri Seti

Veriler	I.	II.	III.	IV.	V.
v₀ (m/s)	10	15	20	20	25
α (°)	30	45	60	30	45
v₀ₓ = v₀cosα (m/s)	8,66	10,6	10	17,3	17,7
v₀ᵧ = v₀sinα (m/s)	5	10,6	17,3	10	17,7
t_uçuş = 2v₀ᵧ/g (s)	1	2,12	3,46	2	3,54
x_menzil = v₀ₓ·t (m)	8,66	22,5	34,6	34,6	62,6
h_max = v₀ᵧ²/2g (m)	1,25	5,6	15	5	15,7

Not: Hesaplamalarda yer çekimi ivmesi g = 10 m/s² alınmıştır. Tablodaki veriler örnek olup kendi simülasyon verilerinizle değiştirilmelidir.

Grafikler

5. adım: Yatay ve düşey bileşenlerin grafikleri

Simülasyondan elde ettiğiniz verileri kullanarak cismin hareketine ait yatay konum-zaman, düşey konum-zaman, yatay hız-zaman ve düşey hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

Yatay Hız - Zaman (vₓ-t)

Düşey Hız - Zaman (vᵧ-t)

Yatay ve Düşey Bileşenlerin İlişkilendirilmesi

6. adım: Hareketin bileşenlerine ayrılması

Gözlemlerinizden ve grafiklerden yararlanarak iki boyutta sabit ivmeli hareketin yatay ve düşey bileşenlerini ilişkilendiriniz.

Açıklama:

Yatay Bileşen:

Cismin yatay yöndeki hareketi sabit hızlı harekettir.
Yatay yönde herhangi bir kuvvet (dolayısıyla ivme) etki etmez; yalnızca yer çekimi düşey yönde etkilidir.
v₀ₓ = sabit (zamanla değişmez)
x = v₀ₓ · t

Düşey Bileşen:

Cismin düşey yöndeki hareketi sabit ivmeli harekettir (yer çekimi ivmesi g kadar).
vᵧ = v₀ᵧ − g·t (yukarı fırlatmada)
y = v₀ᵧ·t − ½g·t²
vᵧ² = v₀ᵧ² − 2g·y

Sonuç: İki boyutta sabit ivmeli hareket, birbirinden bağımsız iki hareketin üst üste binmesi (süperpozisyonu) ile oluşur: yatayda sabit hızlı, düşeyde sabit ivmeli hareket.

Farklı Açı ve Hız Değerlerinin Karşılaştırılması

7-8. adımlar

Farklı fırlatma açıları ve hızları ile yaptığınız deneylerde menzil, maksimum yükseklik ve uçuş süresi değerlerini karşılaştırınız.

Karşılaştırma:

Menzil (x_menzil): 45°'lik açıda maksimum değerine ulaşır. Çünkü menzil formülü x = (v₀²·sin2α)/g olup sin2α, 90°'de (yani α = 45°'de) en büyük değeri olan 1'e ulaşır.
Maksimum Yükseklik (h_max): Açı büyüdükçe artar. Çünkü h_max = v₀ᵧ²/2g = (v₀·sinα)²/2g olup sinα, 90°'ye yaklaştıkça büyür.
Uçuş Süresi (t_uçuş): Açı büyüdükçe artar. Çünkü t_uçuş = 2v₀ᵧ/g = 2v₀·sinα/g olup sinα ile doğru orantılıdır.

Önemli: Aynı hız büyüklüğü ile farklı açılarda yapılan atışlardan, birbirinin tümleyeni olan açılar (örn. 30° ve 60°) aynı menzili verir.

İddia / Karşıt İddia / Gerekçe / Sonuç Formu

9. adım: Eleştirel düşünme ve tartışma

Aşağıdaki formu, iki boyutta sabit ivmeli hareketin yatay ve düşey bileşenlerinin bağımsızlığı hakkındaki görüşlerinizi belirterek doldurunuz.

İddia

Yalnızca yer çekimi etkisindeki bir cismin iki boyutlu hareketi, yatay ve düşey eksenlerde birbirinden bağımsız iki ayrı harekete ayrıştırılabilir; yatayda sabit hız, düşeyde sabit ivme söz konusudur.

Karşıt İddia 1

Cismin hızı sürekli değiştiği için hareketin tamamı "ivmeli" kabul edilmeli, yatay bileşen için "sabit hız" demek yanıltıcıdır.

Çürütücü: Toplam hız vektörü değişse de, bu değişim yalnızca düşey bileşenden kaynaklanır (vᵧ değişir). Yatay bileşen (vₓ) uçuş boyunca ölçülüp sabit çıktığı simülasyon verileriyle doğrulanabilir.

Karşıt İddia 2

Fırlatma açısı büyüdükçe hem menzil hem yükseklik orantılı artar, dolayısıyla hareket tamamen açıya bağlı tek bir bütündür, ayrıştırma gereksizdir.

Çürütücü: Veriler incelendiğinde menzil ve maksimum yükseklik açı ile doğrusal değil trigonometrik (sinα, cosα, sin2α) ilişkilerle değişir; bu da hareketin bağımsız iki bileşenin matematiksel sonucu olduğunu gösterir (örneğin 45°'de menzil maksimumdur, çünkü sin2α terimi bu açıda 1 olur).

Nedenler (İddiayı Destekleyen)

Toplanan verilerde v₀ₓ değeri uçuş süresi boyunca değişmeden kalmıştır (tablo verileri).
Düşey yöndeki hız değişimi (vᵧ) her saniyede yaklaşık g = 10 m/s² kadar azalıp sonra artmıştır (yukarı atışta simetrik davranış).
Yatay ve düşey hareketin ayrı ayrı formüllerle (x = v₀ₓt ve y = v₀ᵧt − ½gt²) hesaplanan sonuçları, simülasyondaki gerçek konumla örtüşmüştür.

Sonuç (Genelleme)

Yalnızca yer çekimi etkisi altında (hava direnci ihmal edilerek) iki boyutta hareket eden bir cismin hareketi:

Yatay eksende: sabit hızlı doğrusal hareket (ivme = 0),
Düşey eksende: sabit ivmeli hareket (ivme = g, aşağı yönlü)
bileşenlerinin birbirinden bağımsız ve eş zamanlı bileşkesidir. Bu iki hareketin vektörel toplamı, cismin izlediği parabolik yörüngeyi oluşturur.

Fırlatma açısı ve hızı, bu iki bileşenin başlangıç değerlerini (v₀cosα ve v₀sinα) belirler ve menzil, uçuş süresi, maksimum yükseklik gibi büyüklükler bu bileşenlerin trigonometrik fonksiyonlarıyla hesaplanabilir.

Değerlendirme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 32

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Değerlendirme Soruları

İki boyutta sabit ivmeli harekete yönelik matematiksel hesaplamalar ve grafikler

İki boyutta sabit ivmeli harekete yönelik matematiksel hesaplamalar ve grafikler içeren aşağıdaki soruları cevaplayınız. Cevaplarınızı soruların altında boş bırakılan alanlara yazınız. (Tüm sorularda hava direncini ihmal ediniz.)

Soru 1: Kayadan Yatay Atış

Havuz problemine düşen kayakçı

Yer çekimi ivme büyüklüğünün 10 m/s² kabul edildiği bir ortamda bir kayakçı 4 m yükseklikteki bir kayadan yere paralel olacak şekilde bir hızla 5 m yükseklikteki kayadan yere paralel olarak atlıyor. Kaplanan kaya tabanından ne kadar uzağa düşeceğini hesaplayarak hız-zaman ve konum-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

1. Adım: Düşme süresini bulalım (düşey hareket):

h = ½ · g · t²

5 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 1 → t = 1 s

2. Adım: Yatay menzili bulalım (yatay hareket):

x = v₀ₓ · t

x = 4 · 1 = 4 m

3. Adım: Yere çarpma hızı:

vᵧ = g · t = 10 · 1 = 10 m/s (aşağı)

v = √(v₀ₓ² + vᵧ²) = √(4² + 10²) = √116 m/s

Konum - Zaman (y-t)

Kaya tabanından uzağa

Hız - Zaman (x-t)

Yatay eksende hız-zaman grafiği

Hız - Zaman (y-t)

Düşey eksende hız-zaman grafiği

Cevap: Kayakçı, kaya tabanından 5 m uzağa düşer.

Soru 2: Uzun Atlama

Atlet ve rekor kırma hızı

Uzun atlama dalında yarışan bir atlet, atlayışını gerçekleştirirken yatayla 37°'lik açı yapacak şekilde pistten ayrılıyor ve 9,6 m'lik bir atlayış gerçekleştirerek dünya rekoru kırıyor. Atletin pistten ayrılma hızının büyüklüğünü hesaplayınız. Hız büyüklüğü %10 oranında artırılırsa atlayış uzunluğu kaç metreye çıkar? (g = 10 m/s² alınız. sin37° = 0,6; cos37° = 0,8)

Çözüm:

1. Adım: Atletin pistten ayrılma hızını bulalım

Menzil formülü: x = (v₀² · sin2α) / g

9,6 = (v₀² · sin74°) / 10

sin74° ≈ 2 · sin37° · cos37° = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96

9,6 = (v₀² · 0,96) / 10

96 = v₀² · 0,96

v₀² = 100 → v₀ = 10 m/s

2. Adım: Hız %10 artırılırsa yeni menzili bulalım

Yeni hız: v₀' = 10 · 1,1 = 11 m/s

x' = (v₀'² · sin74°) / g = (121 · 0,96) / 10

x' = 116,16 / 10 = 11,616 m

Cevap: Atletin pistten ayrılma hızı 10 m/s'dir. Hız %10 artırılırsa atlayış uzunluğu 11,616 m'ye çıkar.

Soru 3: Eğik Atış

Topun uçuş süresi, hızı ve menzili

Bir top, yer çekimi ivme büyüklüğünün 10 m/s² kabul edildiği bir ortamda ilk hızının düşey bileşeninin büyüklüğü 30 m/s, yatay bileşeninin büyüklüğü 20 m/s olacak şekilde yatay düzlemle 0° açısı yapacak şekilde fırlatılıyor. Topun havada kalma süresini, 3 s sonraki hızını ve yere düştüğü noktanın fırlatma noktasına uzaklığını bulunuz.

Çözüm:

Veriler:

v₀ₓ = 20 m/s (yatay bileşen)
v₀ᵧ = 30 m/s (düşey bileşen)
g = 10 m/s²

1. Adım: Havada kalma süresi

t_uçuş = 2 · v₀ᵧ / g

t_uçuş = 2 · 30 / 10 = 6 s

2. Adım: 3 s sonraki hız

vᵧ(3) = v₀ᵧ - g · t = 30 - 10 · 3 = 0 m/s (tepe noktası)

vₓ(3) = v₀ₓ = 20 m/s (sabit)

v(3) = √(vₓ² + vᵧ²) = √(20² + 0²) = 20 m/s

3. Adım: Yere düştüğü noktanın uzaklığı (menzil)

x = v₀ₓ · t_uçuş

x = 20 · 6 = 120 m

Cevap: Topun havada kalma süresi 6 s, 3 s sonraki hızı 20 m/s (tepe noktası) ve yere düştüğü noktanın fırlatma noktasına uzaklığı 120 m'dir.

Soru 4: Yardım Paketi Atışı

Uçaktan bırakılan paketin düşme noktası ve hızı

Bir cankurtaran uçağı, zor durumdaki bir grup dağcıya acil durum yardım paketi atıyor. Uçak yerden 125 m yükseklikte 50 m/s hız büyüklüğü ile yerle paralel olarak uçarken yardım paketini düştüğü noktayı ve bu noktadaki hız büyüklüğünü hesaplayınız. (g = 10 m/s² alınız.)

Çözüm:

Veriler:

h = 125 m (yükseklik)
v₀ₓ = 50 m/s (yatay hız)
g = 10 m/s²

1. Adım: Düşme süresi

h = ½ · g · t²

125 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 25 → t = 5 s

2. Adım: Paketin yatayda aldığı yol (düşme noktası)

x = v₀ₓ · t

x = 50 · 5 = 250 m

3. Adım: Yere çarpma hızı

vᵧ = g · t = 10 · 5 = 50 m/s (aşağı)

vₓ = v₀ₓ = 50 m/s (sabit)

v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(50² + 50²) = √5000 ≈ 70,7 m/s

Cevap: Paket, uçağın altından yatayda 250 m uzağa düşer ve yere ≈ 70,7 m/s hızla çarpar.

Soru 5: Gezegende Zıplama

Astronotun gezegendeki yer çekimi ivmesi

Bir gezegen keşif görevindeki bir astronot, bu gezegende ilk hız büyüklüğü 10√2 m/s iken maksimum 40 m'lik yatay bir uzaklığa sıçrayabilmektedir. Buna göre gezegenin çekim ivmesini hesaplayınız (sin45° = cos45° = √2 / 2).

Çözüm:

Veriler:

v₀ = 10√2 m/s
Menzil (x) = 40 m
α = 45° (maksimum menzil için)

Menzil formülü:

x = (v₀² · sin2α) / g

40 = ((10√2)² · sin90°) / g

40 = (200 · 1) / g

40g = 200

g = 5 m/s²

Cevap: Gezegenin çekim ivmesi 5 m/s²'dir. (Dünya'daki değerin yarısı kadardır.)

İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket - Önemli Formüller

Yatay Hareket

v₀ₓ = v₀·cosα
x = v₀ₓ·t

Düşey Hareket

v₀ᵧ = v₀·sinα
y = v₀ᵧ·t - ½g·t²

Menzil

x = (v₀²·sin2α)/g
45°'de maksimum

Hatırlatma: İki boyutta sabit ivmeli harekette yatay ve düşey bileşenler birbirinden bağımsızdır. Yatayda sabit hızlı, düşeyde sabit ivmeli hareket vardır.

Alıştırmalar

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 35

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

8. Alıştırma: Yanardağdan Fırlayan Kaya

Eğik atış hareketi problemleri

Bir yanardağın tepesinden yatayla 53° açı yapacak şekilde 25 m/s hızla fırlayan bir kaya, yanardağın 60 m altındaki eteğine düşüyor. (Hava direncini ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız. sin53° = 0,8; cos53° = 0,6)

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Kayanın fırlaması ile yanardağın eteğine çarpma anı arasında geçen süreyi hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Hız bileşenleri

v₀ₓ = v₀ · cos53° = 25 · 0,6 = 15 m/s

v₀ᵧ = v₀ · sin53° = 25 · 0,8 = 20 m/s

2. Adım: Düşey konum denklemi

y = v₀ᵧ · t - ½ · g · t²

-60 = 20 · t - ½ · 10 · t²

-60 = 20t - 5t²

5t² - 20t - 60 = 0

t² - 4t - 12 = 0

(t - 6)(t + 2) = 0 → t = 6 s

Cevap: Kayanın havada kalma süresi 6 s'dir.

b) Kayanın yanardağın eteğine çarpma anındaki düşey hız büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm:

Çarpma anındaki düşey hız

vᵧ = v₀ᵧ - g · t

vᵧ = 20 - 10 · 6

vᵧ = -40 m/s → |vᵧ| = 40 m/s

Cevap: Kayanın çarpma anındaki düşey hız büyüklüğü 40 m/s'dir.

9. Alıştırma: K ve L Toplarının Havada Kalma Süreleri

Eğik atışta maksimum yükseklik ve uçuş süresi karşılaştırması

K ve L topları aynı düşey düzlemde, aynı noktadan farklı açı ve hızlarla eğik olarak fırlatılmıştır. Her iki topun maksimum yükselme miktarları eşittir. (Hava direncini ihmal ediniz.)

Soru: K ve L toplarının havada kalma sürelerini karşılaştırınız ve gerekçesini açıklayınız.

Çözüm:

1. Adım: Maksimum yükseklik ve düşey hız ilişkisi

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

Maksimum yükseklikler (h_max) ve yer çekimi ivmesi (g) eşit olduğu için K ve L toplarının düşey ilk hız büyüklükleri birbirine eşittir: v₀ᵧK = v₀ᵧL

2. Adım: Uçuş süresi ve düşey hız ilişkisi

t_uçuş = 2v₀ᵧ / g

Düşey ilk hızlar (v₀ᵧ) ve yer çekimi ivmesi (g) eşit olduğu için havada kalma süreleri de eşittir: t_K = t_L

Cevap: K ve L toplarının maksimum yükselme miktarları eşit olduğundan düşey ilk hızları da eşittir. Havada kalma süresi düşey ilk hıza bağlı olduğu için K ve L toplarının havada kalma süreleri birbirine eşittir.

Eğik Atış - Önemli Formüller

Yatay Hız

v₀ₓ = v₀ · cosα

Düşey Hız

v₀ᵧ = v₀ · sinα

Uçuş Süresi

t_uçuş = 2v₀ᵧ / g

Maks. Yükseklik

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

Hatırlatma: Maksimum yükseklikler eşitse düşey ilk hızlar eşittir; dolayısıyla uçuş süreleri de eşittir.

10. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 36

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket (Eğik Atış)

10. Alıştırma: Su Roketi

Eğik atış hareketi problemleri

Ayşe, bir bilim fuarı için tasarladığı su roketini şekilde görüldüğü gibi yatayla 45° açı yapacak şekilde ve 20√2 m/s'lik ilk hızla fırlatıyor. Roket, yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisi ile iki boyutta sabit ivmeli hareket yapıyor. (Hava sürtünmesini ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız. sin45° = cos45° = √2/2)

Buna göre roketin

a) Havada kalma süresini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Hız bileşenlerini bulalım

v₀ₓ = v₀ · cos45° = 20√2 · (√2/2) = 20 m/s

v₀ᵧ = v₀ · sin45° = 20√2 · (√2/2) = 20 m/s

2. Adım: Havada kalma süresi

t_uçuş = 2 · v₀ᵧ / g

t_uçuş = 2 · 20 / 10 = 4 s

Cevap: Roketin havada kalma süresi 4 s'dir.

b) Maksimum yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm:

Maksimum yükseklik formülü

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

h_max = (20)² / (2 · 10)

h_max = 400 / 20 = 20 m

Cevap: Roketin maksimum yüksekliği 20 m'dir.

c) Yatay eksende yer değiştirme miktarını hesaplayınız.

Çözüm:

Menzil formülü

x_menzil = v₀ₓ · t_uçuş

x_menzil = 20 · 4 = 80 m

Cevap: Roketin yatay eksende yer değiştirme miktarı 80 m'dir.

ç) Maksimum yükseklikteki hız ve ivme büyüklüğünü bulunuz.

Çözüm:

Hız:

Maksimum yükseklikte düşey hız sıfır olduğundan sadece yatay hız kalır: v = v₀ₓ = 20 m/s

İvme:

Hareket boyunca cisme etki eden net kuvvet sadece yer çekimi kuvveti olduğundan ivme büyüklüğü sabittir ve yer çekimi ivmesine eşittir: a = g = 10 m/s²

Cevap: Maksimum yükseklikte hız 20 m/s, ivme 10 m/s²'dir.

d) Yatay ve düşey eksende hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Yatay Hız - Zaman (vₓ-t)

Düşey Hız - Zaman (vᵧ-t)

Yorum: Yatay hız sabittir (20 m/s). Düşey hız ise başlangıçta +20 m/s'den başlayıp 2 s'de 0'a düşer, 4 s'de -20 m/s olur.

e) Yatay ve düşey eksende konum-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Yatay Konum - Zaman (x-t)

Düşey Konum - Zaman (y-t)

Yorum: Yatay konum doğrusal olarak artar. Düşey konum ise parabolik bir yol izler (2 s'de 20 m tepe, 4 s'de 0 m).

f) Yatayla yaptığı açı azaltılarak 30° veya artırılarak 60° yapıldığında yatay doğrultuda yer değiştirme miktarının nasıl değişeceğini bulunuz.

Çözüm:

Genel kural

Eğik atış hareketinde ilk hız büyüklüğü sabit tutulduğunda, menzil (yatay yer değiştirme) en büyük değerine 45° açıyla ulaşır.

Açı 30°'ye düşürüldüğünde veya 60°'ye çıkarıldığında, birbirini 90°'ye tamamlayan bu açılarda menziller eşit olur ancak 45°'deki maksimum menzile göre azalır.

Örnek hesaplama (v₀ = 20√2 m/s için):

30° için: x = (v₀² · sin60°)/g = (800 · 0,866)/10 = 69,3 m
60° için: x = (v₀² · sin120°)/g = (800 · 0,866)/10 = 69,3 m
45° için: x = (v₀² · sin90°)/g = (800 · 1)/10 = 80 m

Cevap: Açı 30° veya 60° yapıldığında menzil azalır (80 m'den 69,3 m'ye düşer). Ancak 30° ve 60° açıları birbirinin tümleyeni olduğu için menziller eşittir.

Eğik Atış - Önemli Formüller

Hız Bileşenleri

v₀ₓ = v₀·cosα
v₀ᵧ = v₀·sinα

Uçuş Süresi

t = 2v₀ᵧ / g

Maks. Yükseklik

h_max = v₀ᵧ² / (2g)

Menzil

x = v₀ₓ · t

Hatırlatma: Maksimum menzil 45°'de elde edilir. Birbirini 90°'ye tamamlayan açılar (30°-60°, 20°-70° vb.) aynı menzili verir.

11. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 37

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket (Yatay Atış)

11. Alıştırma: Dublörün Uçurumdan Atlayışı

Yatay atış hareketi ve minimum hız hesabı

Bir film çekimi sırasında bir dublör, görseldeki gibi araçla yatay doğrultuda hızlandıktan sonra 20 m'lik bir uçurumun kenarından uçarak 40 m genişliğinde bir ırmağın üzerinden geçiyor.

Soru: Dublör nehre düşmeden başarılı bir şekilde inişini tamamladığına göre aracın uçurumdan ayrılma hızı en az kaç m/s büyüklüğündedir? (Hava sürtünmesini ihmal ediniz. g = 10 m/s² alınız.)

Çözüm:

1. Adım: Düşme süresini bulalım (düşey hareket)

h = ½ · g · t²

20 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 4 → t = 2 s

2. Adım: Minimum yatay hızı bulalım (yatay hareket)

Araç 2 s içinde en az 40 m yol almalıdır.

x = v₀ₓ · t

40 = v₀ₓ · 2

v₀ₓ = 40 / 2 = 20 m/s

Cevap: Aracın uçurumdan ayrılma hızı en az 20 m/s büyüklüğünde olmalıdır.

Ek Bilgi: Araç 20 m/s'den daha yavaş hareket ederse, 2 saniyelik düşme süresi içinde 40 m'lik yatay mesafeyi kat edemez ve nehre düşer. 20 m/s tam sınırdır.

Yatay Atış - Önemli Formüller

Düşme Süresi

h = ½ · g · t²

Yatay Menzil

x = v₀ₓ · t

Yere Çarpma Hızı

v = √(v₀ₓ² + vᵧ²)

Hatırlatma: Yatay atışta düşme süresi yalnızca yüksekliğe ve yer çekimi ivmesine bağlıdır; yatay hızdan bağımsızdır.

12. Alıştırma

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket · 1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Sayfa 38

1. KUVVET VE HAREKET

1.1.2. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket (Çembersel Hareketten Fırlatma)

12. Alıştırma: Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

İpin kopması sonucu taşın hareketi

Özgü, hava direncinin ihmal edildiği ve yer çekimi ivmesinin sabit kabul edildiği bir ortamda ipin ucuna bağladığı bir taşı, düşey düzlemde r yarıçaplı çembersel bir yörüngede sabit büyüklükte v hızı ile döndürüyor. Taş, şekildeki gibi K (sağ), L (sağ üst), M (en üst), N (sol) noktalarından geçmektedir.

Buna göre Özgü,

a) İpin ucunu taş hangi noktalardan geçerken bırakırsa taş, tek boyutta sabit ivmeli hareket yapar?

Çözüm:

Tek boyutta sabit ivmeli hareket, cismin yalnızca düşey doğrultuda hareket etmesi durumunda gerçekleşir. Bu durumda taşın hız vektörü düşey doğrultuda olmalıdır.

K noktası: Hız vektörü yukarı yönlüdür. İp burada koparsa taş, yukarı doğru düşey atış hareketi yapar (tek boyutta sabit ivmeli).
N noktası: Hız vektörü aşağı yönlüdür. İp burada koparsa taş, aşağı doğru düşey atış hareketi yapar (tek boyutta sabit ivmeli).
M noktası: Hız vektörü yatay yönlüdür. İp burada koparsa taş, yatay atış hareketi yapar (iki boyutta sabit ivmeli).
L noktası: Hız vektörü eğik yönlüdür. İp burada koparsa taş, eğik atış hareketi yapar (iki boyutta sabit ivmeli).

Cevap: Özgü, ipi K ve N noktalarından geçerken bırakırsa taş, tek boyutta sabit ivmeli hareket yapar.

b) İpin ucunu taş hangi noktalardan geçerken bırakırsa taş, iki boyutta sabit ivmeli hareket yapar?

Çözüm:

İki boyutta sabit ivmeli hareket, cismin hız vektörünün yatay ile bir açı yapması ve sadece yer çekimi etkisinde kalması durumunda gerçekleşir.

M noktası: Hız vektörü yataydır. İp burada koparsa taş, yatay atış hareketi yapar (iki boyutta sabit ivmeli).
L noktası: Hız vektörü yatayla bir açı yapar. İp burada koparsa taş, eğik atış hareketi yapar (iki boyutta sabit ivmeli).

Cevap: Özgü, ipi P, L ve M noktalarından geçerken bırakırsa taş, iki boyutta sabit ivmeli hareket yapar.

c) İpin ucunu taş K noktasından geçerken bırakırsa taşın yere çarptığı ana kadar geçen süre için konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Hareket Analizi:

K noktasında hız vektörü yukarı yönlüdür. İp burada koparsa taş, yukarı doğru düşey atış hareketi yapar. Taş önce yükselir, maksimum yüksekliğe ulaşır, sonra serbest düşme yaparak yere iner.

Konum - Zaman (y-t)

Hız - Zaman (v-t)

ç) İpin ucunu taş L noktasından geçerken bırakırsa taşın yere çarptığı ana kadar geçen süre için hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açının değişimini yorumlayınız.

Çözüm:

L noktasında hız vektörü yatayla bir açı yaparak yukarı-sola doğrudur. İp burada koparsa taş, eğik atış hareketi yapar. İvme vektörü ise her zaman aşağı yönlü yer çekimi ivmesidir (g).

Başlangıçta: Hız vektörü yukarı-sola, ivme vektörü aşağı yönlüdür. Aralarındaki açı geniştir (>90°).
Tepe noktasında: Hız vektörü yatay, ivme vektörü aşağı yönlüdür. Aralarındaki açı 90° olur.
İnişte: Hız vektörü aşağı-sağa, ivme vektörü aşağı yönlüdür. Aralarındaki açı daralır (<90°).

Yorum: Hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı, hareket boyunca geniş açıdan (tepe noktasında 90°) dar açıya doğru sürekli azalır.

d) Taş M noktasından geçerken ipin ucunu bırakırsa taşın havada kaldığı süre için konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Hareket Analizi:

M noktasında hız vektörü yatay yönlüdür. İp burada koparsa taş, yatay atış hareketi yapar. Taş, yatayda sabit hızla ilerlerken düşeyde serbest düşme yapar.

Konum - Zaman

Hız - Zaman

e) Taş N noktasından geçerken ipin ucunu bırakırsa taşın havada kaldığı süre için konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz.

Çözüm:

Hareket Analizi:

N noktasında hız vektörü aşağı yönlüdür. İp burada koparsa taş, aşağı doğru düşey atış hareketi yapar. Taş, aşağı yönlü bir ilk hızla başlar ve yer çekimi ivmesiyle hızı artarak yere düşer.

Konum - Zaman (y-t)

Hız - Zaman (v-t)

Yorum: N noktasında ip koparsa taş, aşağı yönlü ilk hızla birlikte yer çekimi ivmesinin etkisiyle hızlanarak yere düşer. Konum-zaman grafiği parabolik, hız-zaman grafiği doğrusaldır.

Çembersel Hareketten Fırlatma - Özet

Nokta	Hız Yönü	Hareket Türü	Boyut
K (Sağ)	Yukarı	Düşey Atış (Yukarı)	Tek Boyut
L (Sağ Üst)	Eğik (Yukarı-Sol)	Eğik Atış	İki Boyut
M (En Üst)	Yatay (Sol)	Yatay Atış	İki Boyut
N (Sol)	Aşağı	Düşey Atış (Aşağı)	Tek Boyut

Hatırlatma: İp koptuğunda taş, o andaki hız vektörü yönünde hareket eder. Hız vektörü düşey ise tek boyutlu, yatay veya eğik ise iki boyutlu hareket oluşur.