K Doğrultusundan Geliş Yönü:

K doğrultusu sol üstten gelmektedir. Uçak, A noktasına ulaştığında hareket yönü saat yönünündedir.

Vektörlerin Yönleri:

• A noktasındaki yarıçap vektörü (r_A): Merkezden A'ya doğru, yani +y yönünde.
• A noktasındaki hız vektörü (v_A): Saat yönününde hareket için A noktasında hız +x yönündedir.
• B noktasındaki yarıçap vektörü (r_B): Merkezden B'ye doğru, yani +x yönünde.
• B noktasındaki hız vektörü (v_B): Saat yönününde hareket için B noktasında hız -y yönünde.

L Doğrultusundan Geliş Yönü:

L doğrultusu sol alttan gelmektedir. Uçak, A noktasına ulaştığında hareket yönü saat yönünün tersinde dir.

Vektörlerin Yönleri:

• A noktasındaki yarıçap vektörü (r_A): Merkezden A'ya doğru, yani +y yönünde.
• A noktasındaki hız vektörü (v_A): Saat yönü hareket için A noktasında hız -x yönünde (sola doğru).

Vektörlerin Yönleri:

• B noktasındaki yarıçap vektörü (r_B): Merkezden B'ye doğru, yani +x yönünde.
• B noktasındaki hız vektörü (v_B): Saat yönünün tersi hareket için B noktasında hız -+y yönünde (yukarı doğru).

İpteki gerilme kuvveti, cismin düzgün çembersel hareket yapmasını sağlayan merkezcil kuvvete eşittir: T = F_m = m · ω² · r

Cismin bir saniyedeki tur sayısı (frekans, f) artırılırsa, açısal hız da (ω = 2πf) artar.

İp boyu (r) ve kütle (m) sabit olduğundan, ω'nın karesiyle doğru orantılı olan gerilme kuvveti artar. Tur sayısı 2 katına çıkarsa, gerilme kuvveti 4 katına çıkar.

Düşey düzlemde çembersel hareket yapan kova için, en alt noktada ipteki gerilme kuvveti: T_alt = m·v²/r + m·g (maksimum)

En üst noktada ipteki gerilme kuvveti: T_üst = m·v²/r - m·g (minimum)

Kova en alt noktadan tepe noktasına doğru hareket ederken, yer çekimi kuvveti harekete zıt yönde etki eder ve cismin hızı azalır. Hızın azalmasıyla birlikte merkezcil kuvvet (m·v²/r) azalır. Ayrıca ağırlığın etkisi de gerilme kuvvetini azaltıcı yönde değişir. Bu nedenle ipteki gerilme kuvveti azalır.

Virajı dönebilmenin koşulu, sürtünme kuvvetinin merkezcil kuvveti sağlayabilmesidir: F_sürtünme ≥ F_merkezcil

F_sürtünme = k · m · g ve F_merkezcil = m · v² / r

k · m · g ≥ m · v² / r → k · g ≥ v² / r

Eşitsizlikte kütle (m) her iki taraftan sadeleşir. Bu nedenle güvenli sürat sınırı kütleye bağlı değildir. Hem kamyon hem de otomobil aynı virajı aynı maksimum süratle dönebilir. Sürat sınırı; virajın yarıçapına, yer çekimi ivmesine ve zeminin sürtünme katsayısına bağlıdır.

Eğimli virajlarda ideal sürat (sürtünmesiz durum için): v = √(g · r · tanθ)

Bu bağıntıda θ, virajın eğim açısıdır. Virajın eğim açısı (θ) artırıldığında, tanθ değeri de artar.

Bu durumda, güvenli ideal sürat değeri (v) de artar. Yani virajın eğimi artırılarak araçların daha yüksek süratlerle savrulmadan dönmeleri sağlanabilir.

Veriler:

• Yarış mesafesi: 800 m
• Yarış süresi: 111 s
• Ortalama çizgisel hız: v = 800 / 111 ≈ 7,21 m/s
• Büyük tekerlek yarıçapı: r_büyük = 30 cm = 0,3 m
• Küçük tekerlek yarıçapı: r_küçük = 6 cm = 0,06 m
• π = 3

Temel Prensip:

Tekerlekler, kaymadan yuvarlanma hareketi yaptığı için yere temas eden noktaların çizgisel hızı sıfırdır. (Anlık dönme ekseni yere temas noktasıdır.)

Alternatif Yorum (Merkeze Göre Çizgisel Hız):

Eğer tekerleklerin merkezine göre çizgisel hız sorulursa:

Tekerlek merkezlerinin çizgisel hızı = Sandalyenin ilerleme hızı = 7,21 m/s

Her iki tekerleğin merkezi de aynı çizgisel hıza sahiptir.

Temel Prensip:

Kaymadan yuvarlanma hareketinde, yere temas noktası anlık dönme ekseni olduğu için bu noktada açısal hız tanımsızdır veya sıfırdır. Ancak tekerleklerin merkezine göre açısal hız hesaplanabilir.

Karşılaştırma:

• Açısal Hız: Küçük tekerlek (≈120 rad/s) > Büyük tekerlek (≈24 rad/s)
• Küçük tekerlek, aynı çizgisel hızda daha büyük açısal hıza sahiptir.

Cisme Etki Eden Kuvvetler:

• İp gerilme kuvveti (T): İp boyunca merkeze doğru yönelmiştir. Bu kuvvet, cismin çembersel hareket yapmasını sağlayan merkezcil kuvvettir.
• Yer çekimi kuvveti (G): Normalde aşağı yönlüdür. Ancak soruda "yer çekimi etkisinin ihmal edildiği bir ortamda" ifadesi geçtiği için yer çekimi kuvveti yoktur (G = 0).
• Normal kuvveti (N): Cismin temas ettiği bir yüzey olmadığı için normal kuvveti yoktur.

1. Adım: Açısal hızı bulalım

Frekans: f = 2 tur/s = 2 Hz (saniyede 2 tur)

Açısal hız: ω = 2 · π · f

ω = 2 · 3 · 2 = 12 rad/s

2. Adım: Merkezcil ivmeyi bulalım

a_m = ω² · r

a_m = (12)² · 1 = 144 · 1 = 144 m/s²

Alternatif Çözüm (Çizgisel Hız Üzerinden):

Çizgisel hız: v = 2·π·r·f = 2 · 3 · 1 · 2 = 12 m/s

a_m = v² / r = (12)² / 1 = 144 / 1

a_m = 144 m/s²

Merkezcil kuvvet formülü:

F_m = m · a_m

F_m = 3 · 144

F_m = 432 N

Alternatif Çözüm (Çizgisel Hız Üzerinden):

F_m = m · v² / r

F_m = 3 · (12)² / 1 = 3 · 144 / 1

F_m = 432 N

İp Koptuğunda Ne Olur?

İp koptuğunda, topa etki eden merkezcil kuvvet (ip gerilme kuvveti) ortadan kalkar. Bu andan itibaren top, üzerine etki eden net kuvvet sıfır olduğu için (yer çekimi ihmal edildiği için) Newton'ın I. Hareket Yasası (Eylemsizlik Yasası) gereği, kopma anındaki hız vektörü yönünde sabit hızla doğrusal hareket yapmaya başlar.

Veriler:

• Kütle: m = 7 kg
• Tel uzunluğu (yarıçap): r = 1,2 m
• Maksimum gerilme: T_max = 400 N
• Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

En Tepe Noktada Kuvvet Analizi:

En tepe noktada, hem ip gerilmesi (T) hem de ağırlık (G) merkeze (aşağıya) doğru etki eder. Bu iki kuvvetin toplamı merkezcil kuvveti verir:

T + G = m · v² / r

T = m · v² / r - m · g

Hızın Bulunması:

Tel en alt noktada kopmaktadır. En alt noktada gerilme maksimumdur ve T_max = 400 N'dur.

En alt nokta için kuvvet denklemi:

T_max - G = m · v² / r

400 - 7·10 = 7 · v² / 1,2

400 - 70 = 7 · v² / 1,2

330 = 7 · v² / 1,2

v² = (330 · 1,2) / 7 = 396 / 7 ≈ 56,57

v ≈ 7,52 m/s

En Tepe Noktada Gerilme:

T = m · v² / r - m · g

T = 7 · 56,57 / 1,2 - 7 · 10

T = 330 - 70

T = 260 N

Telin Koptuğu An (En Alt Nokta):

Tel en alt noktada kopmaktadır. Bu noktada gerilme maksimum değere ulaşmıştır: T_max = 400 N

En alt nokta için kuvvet denklemi:

T_max - G = m · v² / r

400 - 7·10 = 7 · v² / 1,2

330 = 7 · v² / 1,2

v² = (330 · 1,2) / 7 = 396 / 7 ≈ 56,57

v = √56,57 ≈ 7,52 m/s

1. Adım: Düşme süresini bulalım (düşey hareket)

Yükseklik: h = 1,25 m

h = ½ · g · t²

1,25 = ½ · 10 · t² = 5t²

t² = 1,25 / 5 = 0,25

t = 0,5 s

2. Adım: Yatayda alınan yolu bulalım

Yatay hız: v_x = v = 7,52 m/s (sabit)

x = v_x · t

x = 7,52 · 0,5

x = 3,76 m

Veriler:

• Ahmet Bey'in kütlesi: m_A = 80 kg
• Arabanın kütlesi: m_araba = 1420 kg
• Toplam kütle: m = 80 + 1420 = 1500 kg
• B noktasının yüksekliği: h_B = 50 m
• Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

B Noktasındaki Minimum Hız:

Arabanın yoldan ayrılmadan B noktasından geçebilmesi için, normal kuvvetin sıfır olması gerekir (N = 0). Bu durumda merkezcil kuvveti sadece ağırlık sağlar:

m · g = m · v_B² / r

v_B² = g · r

v_B = √(g · r)

Yarıçapın Bulunması:

Çembersel yörüngenin yarıçapı (r) hakkında doğrudan bir bilgi verilmemiştir. Ancak B noktası, yatay düzlemden 50 m yükseklikte olduğu için, çembersel yörüngenin tepe noktasıdır. Yarıçap bilgisi olmadan v_B'yi hesaplayamayız.

Alternatif Çözüm (Enerji Korunumu):

Eğer çembersel yörüngenin yarıçapı r ise, en alt nokta A ile en üst nokta B arasındaki yükseklik farkı 2r'dir. Ancak soruda A noktası yatay düzlemden 50 m aşağıda, B noktası 50 m yukarıda olduğu için aralarındaki yükseklik farkı 100 m'dir. Bu durumda 2r = 100 m → r = 50 m olur.

v_B = √(g · r) = √(10 · 50) = √500

v_B = 10√5 ≈ 22,36 m/s

Başlangıçtaki Minimum Hız (Enerji Korunumu):

Araba başlangıçta yatay düzlemde (h = 0) ise, B noktasına ulaşmak için gereken minimum hız:

E_başlangıç = E_B

½ · m · v₀² = ½ · m · v_B² + m · g · h_B

½ · v₀² = ½ · (10√5)² + 10 · 50

½ · v₀² = ½ · 500 + 500

½ · v₀² = 250 + 500 = 750

v₀² = 1500

v₀ = √1500 = 10√15 ≈ 38,73 m/s

B Noktasında Normal Kuvvet:

Arabanın B noktasından yoldan ayrılmadan geçebilmesi için minimum hız durumunda, normal kuvvet sıfırdır:

N = m · v_B² / r - m · g

N = m · (g · r) / r - m · g

N = m · g - m · g

N = 0 N

A Noktasındaki Hız (Enerji Korunumu):

A noktası, yatay düzlemden 50 m aşağıdadır. B noktası ise 50 m yukarıdadır. Aralarındaki yükseklik farkı 100 m'dir.

E_A = E_B

½ · m · v_A² = ½ · m · v_B² + m · g · (h_B - h_A)

½ · v_A² = ½ · (10√5)² + 10 · 100

½ · v_A² = 250 + 1000 = 1250

v_A² = 2500

v_A = 50 m/s

A Noktasında Normal Kuvvet:

A noktası, çembersel yörüngenin en alt noktasıdır. Bu noktada normal kuvvet yukarı, ağırlık aşağı yönlüdür:

N - m · g = m · v_A² / r

N = m · g + m · v_A² / r

N = 1500 · 10 + 1500 · 2500 / 50

N = 15000 + 1500 · 50

N = 15000 + 75000

N = 90000 N

Toplam Kütle:

m_toplam = m_Ahmet + m_yolcu + m_araba

m_toplam = 80 + 90 + 1420 = 1590 kg

Minimum Hız (B Noktası):

B noktasından yoldan ayrılmadan geçebilmek için minimum hız koşulu:

m · g = m · v_B² / r

v_B² = g · r

v_B = √(g · r) = √(10 · 50) = √500 = 10√5 ≈ 22,36 m/s

Önemli Nokta:

B noktasındaki minimum hız ifadesinde kütle (m) her iki taraftan sadeleşmektedir. Bu nedenle minimum hız, kütleye bağlı değildir. Yolcu binmesi durumunda da B noktasındaki minimum hız aynı kalır: 22,36 m/s.

Temel Formül:

Yatay virajlarda güvenli sürat, statik sürtünme kuvvetinin merkezcil kuvveti sağlaması ile bulunur:

k_s · m · g = m · v² / r

v = √(k_s · g · r)

Bu bağıntıda kütle (m) sadeleştiği için güvenli sürat kütleden bağımsızdır.

Asfalt Yol İçin Sürtünme Katsayısı:

v = √(k_s · g · r)

20 = √(k_s · 10 · 50) = √(500 · k_s)

400 = 500 · k_s

k_s,asfalt = 0,8

Çakıl Yol İçin Güvenli Sürat (k_s = 0,4):

v = √(0,4 · 10 · 50) = √200

v = 10√2 ≈ 14,14 m/s

Buz Yol İçin Güvenli Sürat (k_s = 0,1):

v = √(0,1 · 10 · 50) = √50

v = 5√2 ≈ 7,07 m/s

Virajlardaki hız sınırı tabelalarında tek bir değer yazmasının nedeni, güvenli süratin aracın kütlesinden bağımsız olmasıdır.

Güvenli sürat formülü: v = √(k_s · g · r)

Bu bağıntıda; sürtünme katsayısı (k_s), yer çekimi ivmesi (g) ve virajın yarıçapı (r) yer alır. Aracın kütlesi (m) formülde yer almaz, çünkü eşitliğin her iki tarafından sadeleşir.

Bu nedenle, aynı virajda ve aynı yol koşullarında (asfalt, çakıl, buz) hareket eden araba, kamyon veya tır için güvenli sürat sınırı aynıdır. Tabelaya tek bir değer yazılması yeterlidir. Ancak farklı yol tipleri için (asfalt, çakıl, buz) farklı tabelalar kullanılabilir.

Veriler:

• Otomobilin kütlesi: m = 1200 kg
• Virajın yarıçapı: r = 480 m
• Eğim açısı: α = 10°
• tan10° = 0,17
• Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²
• Sürtünmeler ihmal edilmiştir.

Sürtünmesiz Eğimli Viraj İçin Azami Hız Formülü:

v = √(g · r · tanα)

Bu bağıntıda kütle (m) yer almaz; yani azami hız kütleden bağımsızdır.

v = √(10 · 480 · 0,17)

v = √(816)

v ≈ 28,57 m/s

Yağışlı havalarda yolun sürtünme katsayısı azalır. Bu durumda güvenli sürüş için şu önlemler alınabilir:

• Hız sınırının düşürülmesi: Viraj öncesine, hava koşullarına göre değişen elektronik hız sınırı tabelaları yerleştirilerek sürücülerin azami hızı düşürmesi sağlanabilir.
• Yol yüzeyinin pürüzlendirilmesi: Virajın yüzeyine, sürtünmeyi artırıcı özel kaplamalar veya oluklar (grooving) uygulanabilir.
• Drenaj sistemlerinin iyileştirilmesi: Su birikimini önlemek için viraja ek drenaj kanalları yapılabilir. Böylece su filmi tabakası oluşması engellenir.
• Uyarı sistemleri: Viraja yaklaşan sürücüleri hava koşulları ve yol durumu hakkında uyaran elektronik tabelalar ve sensörler yerleştirilebilir.
• Araç teknolojileri: ABS, ESP (Elektronik Stabilite Programı) gibi sürüş güvenliği sistemlerinin kullanımı teşvik edilebilir.
• Yasal düzenlemeler: Yağışlı havalarda kış lastiği kullanımı zorunlu hâle getirilebilir.

Veriler:

• Otomobilin kütlesi: m = 1200 kg
• Virajın yarıçapı: r = 480 m
• Statik sürtünme katsayısı: k_s = 0,5
• Yer çekimi ivmesi: g = 10 m/s²

Yatay Viraj İçin Azami Hız Formülü:

v = √(k_s · g · r)

v = √(0,5 · 10 · 480)

v = √(2400)

v = 20√6 ≈ 48,99 m/s

Karşılaştırma: Yatay viraj, kuru havalarda daha yüksek hıza izin verse de sürtünmeye bağımlıdır. Yağmur, kar veya buzlanma durumunda sürtünme katsayısı düşer ve güvenli hız önemli ölçüde azalır. Eğik viraj ise sürtünmeden bağımsız olarak güvenli bir dönüşe izin verir.

Sonuç: Otoyollarda, her türlü hava koşulunda güvenliği sağlamak için eğik virajlar tercih edilmelidir. Eğik virajlar, yağışlı ve buzlu havalarda bile araçların savrulmadan dönmesini sağlar. Bu nedenle otoyol tasarımında, özellikle yüksek hızlı yollarda eğimli virajlar tercih edilir.