Konuya Başlarken

Sayfalara Git

Ünite İçeriğine Dön

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 78

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Masa tenisinde rakibe yatay eksen boyunca doğrusal olarak atılan top, fileye takılır ve rakibin yarı sahasına geçemez. Topun, rakibin yarı sahasına ulaşabilmesi için sadece ileriye doğru değil aynı zamanda yukarı doğru bir hareket bileşeninin de olması gerekir. Bu durumda topun rakibin yarı sahasına ulaşabilmesi için hem hız hem de yön önemlidir.

Düşünelim: Topun hem yatay hem düşey hareket bileşenleri olduğunda nasıl bir yörünge izler? Bu hareket hangi fiziksel prensiplerle açıklanabilir?

Hızın Yatay ve Düşey Bileşenleri

Pinpon topunun hız bileşenlerinde zamanla değişim olur mu?

Soru: Sporcu pinpon topuna rakibinin yarı sahasına değecek şekilde vurduğu andan itibaren topun hızının yatay ve düşey bileşenlerinde zamanla bir değişim meydana gelir mi?

Cevap:

Yatay bileşen: Hava direnci ihmal edildiğinde, yatay hız bileşeni sabit kalır (v_x = sabit). Çünkü yatay yönde cisme etki eden net kuvvet yoktur.
Düşey bileşen: Düşey hız bileşeni zamanla değişir. Yer çekimi ivmesi (g) nedeniyle düşey hız sürekli değişir (v_y = v_0y - g·t).
Sonuç: Topun hızı iki boyutlu olarak değişir. Yatay bileşen sabit, düşey bileşen değişkendir.

Cevap: Yatay hız bileşeni sabit, düşey hız bileşeni değişkendir. Yer çekimi nedeniyle düşey hız azalır (yukarı çıkarken) ve artar (aşağı inerken).

Topa Vurma Şeklinin Etkisi

Futbol ve basketbolda topa vurma şekli mesafeyi etkiler mi?

Soru: Masa tenisinde olduğu gibi futbol veya basketbol maçlarında da sporcuların topa vurma veya topu atma şekli topların gideceği mesafeyi etkiler mi?

Cevap:

Evet, etkiler. Topa vurma veya atma şekli, topun ilk hızının büyüklüğünü ve yönünü belirler.
Hız büyüklüğü: Daha kuvvetli vuruş, topun daha büyük ilk hızla hareket etmesini sağlar.
Atış açısı: Topun fırlatıldığı açı, yatay ve düşey hız bileşenlerini belirler. 45° açı ile atılan top maksimum menzile ulaşır (hava direnci ihmal edilirse).
Sonuç: Vuruş şekli, topun menzilini (yatay uzaklık) ve maksimum yüksekliğini etkiler.

Cevap: Evet, topa vurma şekli topun ilk hızını ve atış açısını belirleyerek menzilini ve yüksekliğini etkiler.

Farklı Boylardaki Arkadaşlar

Aynı yatay hızla atılan taşların yatay mesafesi

Soru: Aynı yatay hız büyüklüğü ile denize taş atan farklı boylardaki iki arkadaşın attıkları taşların yatay doğrultuda gideceği mesafe için ne söylenebilir?

Cevap:

Taşın yatay mesafesi: Yatayda alınan yol, yatay hız ve havada kalma süresine bağlıdır (x = v_x · t_uçuş).
Havada kalma süresi: Taşın havada kalma süresi, başlangıç yüksekliğine bağlıdır. Daha yüksekten atılan taş daha uzun süre havada kalır.
Uzun boylu arkadaş: Eli daha yüksekte olduğu için taşı daha yüksekten atar. Bu nedenle taş daha uzun süre havada kalır ve daha uzağa gider.
Kısa boylu arkadaş: Daha alçaktan attığı için taş daha kısa süre havada kalır ve daha kısa mesafeye gider.

Cevap: Uzun boylu arkadaşın taşı daha uzağa gider. Çünkü daha yüksekten atılan taş daha uzun süre havada kalır.

Sınıf Arkadaşlarıyla Tartışma

İki Boyutlu Hareket

Bir cismin yatay ve düşey hareketleri birbirinden bağımsız mıdır? Arkadaşlarınızla tartışınız.

Tartışma Özeti:

Bağımsızlık: Yatay ve düşey hareketler birbirinden bağımsızdır.
Yatay: Sabit hız (ivme yok).
Düşey: Sabit ivme (yer çekimi).
Sonuç: İki hareket birleşerek parabolik yörünge oluşturur.

Atış Açısı ve Menzil

Bir cismi hangi açıyla fırlatmak en uzun menzil sağlar? Neden?

Tartışma Özeti:

45° açı: Hava direnci ihmal edildiğinde maksimum menzil sağlar.
Neden? Yatay ve düşey hız bileşenleri arasında optimal denge sağlar.
Diğer açılar: 45°'den büyük veya küçük açılarda menzil azalır.

Not: İki boyutlu hareket, yatay ve düşey hareketlerin bileşkesidir. Bu hareketler birbirinden bağımsızdır.

İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket - Özet

Yatay Hareket

v_x = sabit
a_x = 0

Düşey Hareket

v_y = v_0y - g·t
a_y = -g

Yörünge

Parabolik
İki hareketin bileşkesi

Hatırlatma: İki boyutta hareket eden cisimlerin yatay ve düşey hareketleri bağımsızdır. Yatayda sabit hız, düşeyde sabit ivme vardır.

6. Etkinlik

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 78-80

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket Etkinliği

Adı: İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Amaç: Sabit hızlı ve sabit ivmeli hareket arasındaki ilişkiyi yorumlayabilme

Süre: 30 + 30 dk.

Araç Gereç: Genel ağ bağlantılı cihaz

1-3. Adım: Tablo 1 ve Tablo 2 (Yatay Atış - Doldurulmuş)

Yatay atışta yatay doğrultuda cisme bir kuvvet etki etmediği için sabit hızlı hareket (v_x = v₀), düşey doğrultuda ise yer çekimi kuvveti etki ettiği için serbest düşme (sabit ivmeli hareket) gerçekleşir.

Tablo 1: Hız Büyüklükleri

Zaman	Yatay Doğrultudaki Hız	Düşey Doğrultudaki Hız
t₀ = 0	v₀ - (30 m/s)	0
t₁ = t - (1s)	v₀ - (30 m/s)	g.t - (10 m/s)
t₂ = 2t - (2s)	v₀ - (30 m/s)	g.t - (20 m/s)
t₃ = 3t - (3s)	v₀ - (30 m/s)	g.t - (30 m/s)

Tablo 2: Yer Değiştirme Büyüklükleri

Zaman	Yatay Doğrultudaki Yer Değiştirme	Düşey Doğrultudaki Yer Değiştirme
t₀ = 0	0	0
t₁ = t - (1s)	x - (30 m)	h - (5 m)
t₂ = 2t - (2s)	2x - (60 m)	4h - (20 m)
t₃ = 3t - (3s)	3x - (90 m)	9h - (45 m)

Yorum: Yatay hız sabit (v₀), düşey hız artıyor (g·t). Yatay yer değiştirme doğrusal (x, 2x, 3x), düşey yer değiştirme parabolik (h, 4h, 9h).

Soru 4 ve 5 Cevapları

Yatay atışta hız ve yer değiştirme karşılaştırması

4. Soru Cevabı:

Yatay doğrultudaki hız v₀ değeriyle tüm hareket boyunca sabit kalır.
Düşey doğrultudaki hız ise başlangıçta sıfırdır ve yer çekimi ivmesi (g) nedeniyle her saniye eşit miktarda (g·t kadar) artar.

5. Soru Cevabı:

Yatay doğrultuda alınan yol zamanla doğru orantılı olarak artar (x, 2x, 3x).
Düşey doğrultudaki yer değiştirme ise zamanın karesiyle orantılı olarak artar (h, 4h, 9h).

6-7. Adım: Tablo 3 ve Tablo 4 (Eğik Atış - Doldurulmuş)

Eğik atışta ilk hız bileşenlere ayrılır: v_x = v·cosα ve v_y = v·sinα. Tepe noktasına ulaşma süresi 2t olarak kabul edilmiştir.

Tablo 3: Hız Büyüklükleri

Zaman	Yatay Hız (v_x)	Düşey Hız (v_y)	Bileşke Hız (v)
t₀ = 0	v·cosα	v·sinα	v
t₁ = t	v·cosα	v·sinα - g·t	√(v_x² + v_y²)
t₂ = 2t	v·cosα	0 (Tepe noktası)	v·cosα
t₃ = 3t	v·cosα	-g·t	√(v_x² + g²t²)
t₄ = 4t	v·cosα	-v·sinα	v

Tablo 4: Konum ve Matematiksel Model

Zaman	Yatay Uzaklık (birim)	Yatay Model	Düşey Uzaklık (birim)
t₀ = 0	0	0	0
t₁ = t	4	v_x·t = x	6
t₂ = 2t	8	v_x·(2t) = 2x	8 (Maksimum Yükseklik)
t₃ = 3t	12	v_x·(3t) = 3x	6
t₄ = 4t	16	v_x·(4t) = 4x	0

Yorum: Yatayda eşit zaman aralıklarında eşit yollar (4, 8, 12, 16). Düşeyde önce yükselir (6, 8), sonra alçalır (6, 0). Yörünge paraboliktir.

Değerlendirme Soruları

8-11. soruların cevapları

8. Soru Cevabı:

Yatay hız büyüklüğü hareket boyunca hiç değişmez (v_x).
Düşey hız tepe noktasına çıkana kadar her saniye g kadar azalır, tepe noktasında sıfır olur ve ardından aşağı inerken her saniye g kadar artar.

9. Soru Cevabı:

Top yatayda eşit zaman aralıklarında eşit yollar alır (4, 8, 12, 16).
Düşeyde önce yavaşlayarak yükselir (yükseklik artış hızı azalır), tepe noktasına ulaştıktan sonra hızlanarak alçalır.

10. Soru Cevabı:

Her iki harekette de yatay doğrultudaki hareket sabit hızlı harekettir.
Düşey doğrultudaki hareket ise yer çekimi ivmesi etkisi altında sabit ivmeli harekettir.

11. Soru Cevabı:

Yer çekimi ivmesi (g) yalnızca düşey doğrultudaki hızı etkiler.
Yatay doğrultuda yer çekimi bileşeni olmadığından yatay hız değişmez.
Düşey hızdaki değişim miktarı doğrudan yer çekimi ivmesinin büyüklüğüne bağlıdır (Δv_y = g·Δt).

İddialar ve Genellemeler

12-13. soruların cevapları

12. Soru Cevabı - Grup İddiası:

İddia: İki boyuttaki hareket, birbirine dik iki bağımsız bir boyutlu hareketin birleşimidir.
Gerekçe: Yataydaki hareket kuvvet etkisinde olmadığı için sabit hızlıdır, düşeydeki hareket ise net bir kuvvet (ağırlık) etkisinde olduğu için sabit ivmelidir. Bir boyuttaki değişim diğer boyutu etkilemez.

13. Soru Cevabı - Genellemeler:

İki boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin yatay ve düşey hareketleri birbirinden bağımsızdır.
Yatay bileşende ivme sıfır olduğu için cisim sabit hızla ilerler.
Düşey bileşende ise yer çekimi ivmesi nedeniyle sabit ivmeli düzgün hızlanan veya düzgün yavaşlayan hareket yapar.
Yörünge paraboliktir.

İki Boyutta Hareket - Özet

Özellik	Yatay Hareket	Düşey Hareket
İvme	a_x = 0	a_y = -g
Hız	v_x = sabit	v_y = değişken
Konum	x = v_x·t (doğrusal)	y = v_0y·t - ½·g·t² (parabolik)
Yörünge	Parabolik

Hatırlatma: Yatay ve düşey hareketler birbirinden bağımsızdır. Yatayda sabit hız, düşeyde sabit ivme vardır.

Değerlendirme

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 80-81

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Farklı Kütleli Cisimlerin Atışı

Kütlenin hareket üzerindeki etkisi

Görseldeki kare bölmeli düzlemde 4m ve m kütleli iki cisim aynı yükseklikten aynı hız büyüklüğü (v) ile fırlatılmıştır. Hava direnci ihmal edilmiştir.

Çözüm:

Hava direnci ihmal edildiğinde cisimlerin ivmesi kütleden bağımsızdır ve yer çekimi ivmesine (g) eşittir.

Düşey Yer Değiştirme (4m):

(0 - t): 1 birim (h)
(t - 2t): 3 birim (3h)
(2t - 3t): 5 birim (5h)

Düşey Yer Değiştirme (m):

(0 - t): 1 birim (h)
(t - 2t): 3 birim (3h)
(2t - 3t): 5 birim (5h)

Yatay Yer Değiştirme (Her İki Cisim):

(0 - t): 2 birim (x)
(t - 2t): 2 birim (x)
(2t - 3t): 2 birim (x)

Çıkarım: Hava direncinin ihmal edildiği ortamlarda cisimlerin ivmesi kütlelerine bağlı değildir (a = g). 4m ve m kütleli cisimler aynı zaman aralıklarında hem yatayda hem de düşeyde birebir aynı yer değiştirmeleri yaparlar.

Eğik Atış Hız Bileşenleri

A, B ve C noktalarındaki hızlar

A noktasında ilk hız v = 10 m/s ve atış açısı 37°'dir. B tepe noktası, C ise simetrik iniş noktasıdır. (sin37° = 0,6; cos37° = 0,8)

Çözüm:

Bileşenlerin Hesaplanması:

Yatay Hız: v_x = v·cos37° = 10·0,8 = 8 m/s (sabit)
Düşey Hız (A): v_y = v·sin37° = 10·0,6 = 6 m/s

Nokta	Yatay Hız (v_x)	Düşey Hız (v_y)	Bileşke Hız (v)
A	8 m/s	6 m/s	10 m/s
B (Tepe)	8 m/s	0 m/s	8 m/s
C	8 m/s	6 m/s	10 m/s

Not: B noktasında (tepe noktası) düşey hız sıfırdır. C noktasında düşey hız büyüklük olarak A noktasına eşittir (6 m/s), ancak yönü aşağı doğrudur.

Tablo: A: (8, 6, 10) | B: (8, 0, 8) | C: (8, 6, 10)

Hedef Vurma ve Parabolik Yörünge

Oyuncunun hedefi vurma durumu

Bir nişancı oyununda oyuncu, silahından çıkan boya topu ile hedefleri vurmaya çalışmaktadır. Oyuncu, görseldeki gibi ilk rakibi doğrudan hedefleyerek vurmuştur. Ancak aynı mesafedeki ikinci rakibi vuramamıştır.

Çözüm:

Boya topu silahtan çıktığı andan itibaren iki boyutta hareket yapar:

Yatayda: Sabit hızlı hareket yapar.
Düşeyde: Yer çekimi ivmesi (g) nedeniyle sabit ivmeli hızlanan hareket (serbest düşme) yapar.

Neden İkinci Rakip Vurulamıyor?

Oyuncu hedefi doğrudan hedeflerse, top hedefe doğru ilerlediği süre (t) boyunca düşeyde h = ½·g·t² kadar aşağı sapar.
İlk rakip vurulduğunda, ikinci rakibin vurulamama sebebi atış açısının (veya ilk hız büyüklüğünün) yer çekiminden kaynaklı düşey sapmayı tolere edecek şekilde ayarlanmamış olmasıdır.
Topun izlediği parabolik yörünge doğrudan nişan alınan hattan aşağı düşmesine neden olur.

Özet: Yer çekimi nedeniyle top parabolik yörünge izler. Hedef doğrudan nişan alındığında top hedeften aşağı düşer. Bu nedenle hedefi vurmak için yukarı doğru bir atış açısı ayarlanmalıdır.

İki Boyutta Hareket - Önemli Bilgiler

Yatay Hareket

v_x = sabit
a_x = 0

Düşey Hareket

v_y = v_0y - g·t
a_y = -g

Yörünge

Parabolik
Kütleden bağımsız

Hatırlatma: Hava direnci ihmal edildiğinde, tüm cisimler aynı ivmeyle (g) düşer. Kütle farkı hareketi etkilemez.

21. Soru

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 85

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Masa Tenisinde Yatay Atış

Topun fileyi geçip geçmeyeceği ve çarpma hızı

Masa tenisinde oyuncu topa yatay olarak 14 m/s hızla vurmaktadır. Top, masadan 0,20 m yükseklikten atılmıştır. Masa uzunluğu 2,80 m olup file masayı ortadan bölmektedir. File yüksekliği 14 cm'dir. (g = 10 m/s²)

Verilenler: h₀ = 0,20 m, v_x = 14 m/s, masa uzunluğu = 2,80 m, file yüksekliği = 0,14 m, g = 10 m/s²

Topun Fileyi Geçme Durumu

Top fileye takılır mı?

a) Top fileyi geçebilir mi? Açıklayınız.

Çözüm:

1. Adım: Topun file hizasına gelme süresi:

File masayı ortadan böldüğü için: x = 1,40 m
x = v_x · t_file
1,40 = 14 · t_file
t_file = 0,1 s

2. Adım: 0,1 s'de düşeyde aldığı yol:

h_düşüş = ½ · g · t²
h_düşüş = ½ · 10 · (0,1)²
h_düşüş = 5 · 0,01 = 0,05 m = 5 cm

3. Adım: Topun file hizasındaki yüksekliği:

h_file = 20 cm - 5 cm = 15 cm
File yüksekliği = 14 cm

Cevap: Top file hizasından geçerken yüksekliği 15 cm'dir. Filenin yüksekliği 14 cm olduğu için top fileye takılmadan 1 cm farkla geçer.

Düşey Hızın Zamana Göre Değişim Grafiği

v_y - t grafiği

b) Hızın düşey bileşeninin zamana göre değişim grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Düşey hız zamanla doğru orantılı olarak artar (v_y = 10·t). Hareket t = 0,2 s anında masaya çarpma ile sona erer.

Not: Y ekseninde 0'dan başlanıp 0,2 saniyede 2 m/s değerine ulaşan doğrusal bir çizgi çizilir.

Grafik: v_y = 10·t (doğrusal, eğim = 10 m/s²)

Çarpma Hızının Bileşenleri

Yatay ve düşey hız bileşenleri

c) Topun rakip alanda masaya çarpma hızının yatay ve düşey bileşenlerini hesaplayınız.

Çözüm:

1. Adım: Toplam uçuş süresini bulalım:

h = ½ · g · t²
0,20 = ½ · 10 · t²
0,20 = 5 · t²
t² = 0,04
t = 0,2 s

2. Adım: Yatay hız bileşeni:

Yatayda ivme olmadığından hız sabittir.
v_x = 14 m/s

3. Adım: Düşey hız bileşeni (t = 0,2 s):

v_y = g · t
v_y = 10 · 0,2
v_y = 2 m/s

Cevap: v_x = 14 m/s, v_y = 2 m/s

Rakip Alana Çarpma Süresi

Toplam uçuş süresi

ç) Topun rakip alana çarpmasına dek geçen süre kaç saniyedir?

Çözüm:

h = ½ · g · t²
0,20 = ½ · 10 · t²
0,20 = 5 · t²
t² = 0,04
t = 0,2 s

Cevap: Top rakip alana 0,2 s sonra çarpar.

Yatay Atış - Önemli Formüller

Uçuş Süresi

t = √(2h/g)
Yüksekliğe bağlıdır

Yatay Menzil

x = v_x · t
Yatay hız ile doğru orantılı

Düşey Hız

v_y = g · t
Zamanla doğru orantılı artar

Hatırlatma: Yatay atışta yatay hız sabit, düşey hız artar. Yörünge paraboliktir.

22. Soru

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 86

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Akrobatın Tramboline Atlayışı

Yatay atış ve merdiven basamakları

Bir akrobat, merdivenin en üst basamağının kenarından (K noktası) 10 m/s yatay hızla atlayarak tramboline (L noktası) ulaşmaktadır. Basamak genişliği 30 cm, basamak yüksekliği 45 cm'dir. (g = 10 m/s²)

Verilenler: v₀ = 10 m/s, basamak genişliği (w) = 0,30 m, basamak yüksekliği (h) = 0,45 m, g = 10 m/s²

Çözüm

Akrobatın Ulaştığı Basamak Sayısı

n. basamağın kenarına ulaşma şartı

Çözüm:

Akrobat, merdivenin en üst basamağının kenarından (K noktası) yatay atış hareketi yapar.

Hareket Denklemleri (K noktasına göre):

Yatayda: x = v₀ · t = 10t
Düşeyde: y = ½ · g · t² = 5t²

n. Basamağın Kenarına Ulaşma Şartı:

x = n · w = 0,30n (w : genişlik)
y = n · h = 0,45n (h : yükseklik)

x denkleminden zamanı bulalım:

0,30n = 10t
t = 0,03n

t'yi y denkleminde yerine koyalım:

0,45n = 5t²
0,45n = 5 · (0,03n)²
0,45n = 5 · 0,0009n²
0,45n = 0,0045n²

n'i çözelim (n ≠ 0):

0,45 = 0,0045n
n = 0,45 / 0,0045
n = 100

Sonuç: Akrobatın hareketinin izlediği yörünge, merdiven aynı eğimle uzasaydı 100. basamağın kenarından geçecekti. L noktası, K'ya göre bu "100. basamak" konumuna denk gelmektedir.

Yatay Atış - Önemli Formüller

Yatay Hareket

x = v₀ · t
Sabit hızlı

Düşey Hareket

y = ½ · g · t²
Serbest düşme

Yörünge

Parabolik
Yatay atışta

Hatırlatma: Yatay atışta yatay hız sabit, düşey hareket serbest düşmedir. Yörünge paraboliktir.

23. Soru

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 90

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Futbolda Eğik Atış - Gol Pozisyonu

Hız ve açı değişimlerinin gol olma durumuna etkisi

Bir futbolcu, topa 53° açıyla 15 m/s hızla vuruyor. Top, 2,2 s sonra kalenin en üst noktasına (yükseklik: 2,2 m) ulaşarak içeri giriyor ve gol oluyor. (sin53° = 0,8; cos53° = 0,6; g = 10 m/s²)

Verilenler: v₀ = 15 m/s, α = 53°, x = 19,8 m, t = 2,2 s, kale yüksekliği = 2,2 m

Mevcut Durumun Analizi

Verilen değerlerin doğrulanması

Çözüm:

Hız Bileşenleri:

Yatay Hız: v_x = v₀·cos53° = 15·0,6 = 9 m/s
Düşey Hız: v_y = v₀·sin53° = 15·0,8 = 12 m/s

Topun Kaleye Ulaşma Süresi:

t = x / v_x = 19,8 / 9
t = 2,2 s ✓

t = 2,2 s Anındaki Düşey Yükseklik:

y = v_y·t - ½·g·t²
y = 12·2,2 - 5·(2,2)²
y = 26,4 - 24,2
y = 2,2 m ✓

Sonuç: Top tam kale direğinin altından (2,2 m) geçer. Verilen ifade doğrulanmıştır.

Değişen Durumların Yorumlanması

Hız ve açı değişimlerinin gol olma durumuna etkisi

Soru: Aşağıdaki durumlarda topun gol olup olmayacağını yorumlayınız.

a) Hız büyüklüğü 15 m/s'den DAHA BÜYÜK olursa:

Yatay hız (v_x) artacağı için top kaleye daha kısa sürede ulaşır.
Top daha kısa sürede yer çekimi nedeniyle daha az aşağı düşeceğinden, kale hizasına geldiğinde yüksekliği 2,2 m'nin üzerinde olur.
Sonuç: Top kalenin üst direğinin üzerinden dışarı çıkar, GOL OLMAZ (Aut).

b) Hız büyüklüğü 15 m/s'den DAHA KÜÇÜK olursa:

Yatay hız (v_x) azalacağı için topun kaleye ulaşma süresi uzar.
Zaman uzadıkça yer çekimi düşey yüksekliği daha çok azaltır (y değeri düşer).
Sonuç: Top 2,2 m yüksekliğin altından geçerek kalenin içine girer ve GOL OLUR. (Hız aşırı düşürülürse top kaleye varmadan yere düşebilir.)

c) Açısı 53°'den DAHA BÜYÜK bir açı ile vurulursa:

Aynı 15 m/s ilk hızda açı büyütüldüğünde yatay hız (v_x) küçülür, düşey hız (v_y) büyür.
Yatay hız küçüldüğü için kaleye varış süresi uzar. Düşey hız arttığı için top daha yükseğe tırmanır.
Sonuç: Top kale hizasındayken 2,2 m'den daha yüksek bir konumda bulunacağından kalenin üstünden dışarı gider, GOL OLMAZ (Aut).

Özet: Hız büyükse aut, hız küçükse gol, açı büyükse aut olur. Mevcut durumda (15 m/s, 53°) gol olmuştur.

Eğik Atış - Önemli Formüller

Yatay Hız

v_x = v₀·cosα
Sabit

Düşey Hız

v_y = v₀·sinα - g·t
Değişken

Yükseklik

y = v_y·t - ½·g·t²
Parabolik

Hatırlatma: Eğik atışta yatay hız sabit, düşey hız değişkendir. Yörünge paraboliktir.

24-25. Sorular

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 91-92

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Soru : 24 Atış Açısı ve Yatay Menzil

Farklı açılarda yatay yer değiştirme

0° ile 90° arasındaki dik açı dikkate alındığında ve her bir atış arasındaki açının eşit olduğu durumda, 6 farklı şut açısı 15°'lik artışlarla oluşur (15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°).

a) Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Çözüm:

Yatay Doğrultu İle Yapılan Açı	Yatay Doğrultudaki Yer Değiştirme (birim)
15°	5
30°	8,66 ≈ 8,7
45°	10
60°	8,66 ≈ 8,7
75°	5
90°	0 (Düşey atış)

b) Elde ettiğiniz sonuçları yorumlayarak genellemeler yapınız.

Genellemeler:

Maksimum Menzil: Aynı hızla yapılan atışlarda yatay doğrultudaki menzili maksimum yapan atış açısı 45°'dir.
Birbirini 90°'ye Tamamlayan Açılar: Toplamları 90° olan açı değerleriyle (15°-75° veya 30°-60°) yapılan atışlarda topun yatayda aldığı mesafeler birbirine eşittir.
Açı Değişiminin Etkisi: 45°'ye kadar açı büyüdükçe yatay menzil artar; 45°'den sonra açı büyüdükçe yatay menzil azalır. 90°'de ise yatay menzil sıfır olur.

Formül: x_menzil = (v₀² · sin 2α) / g

Soru : 25 voleybolcu Pas Atışı

Hız bileşenleri, uçuş süresi ve menzil

Bir voleybolcu, topa 50 m/s hızla 37° açı yapacak şekilde vuruyor. (sin37° = 0,6; cos37° = 0,8; g = 10 m/s²)

Çözüm:

Hız Bileşenleri:

Düşey Hız: v_y = v₀·sin37° = 50·0,6 = 30 m/s
Yatay Hız: v_x = v₀·cos37° = 50·0,8 = 40 m/s

a) Topun ellerden çıktığı andaki hızının düşey bileşeni:

v_y = 30 m/s

b) Topun en yüksek noktaya ulaşması için geçen süre:

t_çıkış = v_y / g = 30 / 10 = 3 s

c) Topun ulaştığı maksimum yükseklik:

h_maks = v_y² / (2·g) = 30² / (2·10)
h_maks = 900 / 20 = 45 m

ç) İki oyuncu arasındaki x mesafesi (Menzil):

Toplam uçuş süresi: t_uçuş = 2·t_çıkış = 2·3 = 6 s
x = v_x · t_uçuş = 40 · 6
x = 240 m

Özet: v_y = 30 m/s, t_çıkış = 3 s, h_maks = 45 m, x = 240 m

Eğik Atış - Önemli Formüller

Hız Bileşenleri

v_x = v₀·cosα
v_y = v₀·sinα

Maksimum Yükseklik

h_maks = v_y² / (2g)
t_çıkış = v_y / g

Menzil

x = v_x · 2t_çıkış
Maksimum 45°'de

Hatırlatma: Eğik atışta 45° açı maksimum menzil sağlar. Birbirini 90° tamamlayan açıların menzilleri eşittir.

26. Soru

1. Ünite: Kuvvet ve Hareket

Sayfa 93

1. KUVVET VE HAREKET

1.4. İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Cirit Atışı - Açı ve Menzil İlişkisi

Farklı açılarda yatay hız, düşey hız, uçuş süresi ve menzil

Bir atlet, ciriti 20 m/s ilk hız büyüklüğüyle farklı açılarda fırlatmaktadır. (g = 10 m/s²)

Verilenler: v₀ = 20 m/s, g = 10 m/s²

Doldurulmuş Tablo

Tüm açılar için hesaplanan değerler

a) Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Açı (α)	Yatay Hız (m/s)	Düşey Hız (m/s)	Uçuş Süresi (s)	Menzil (m)
30°	10√3 ≈ 17,32	10	2	20√3 ≈ 34,64
37°	16	12	2,4	38,4
45°	10√2 ≈ 14,14	10√2 ≈ 14,14	2√2 ≈ 2,83	40
53°	12	16	3,2	38,4
60°	10	10√3 ≈ 17,32	2√3 ≈ 3,46	20√3 ≈ 34,64

Formüller: v_x = v₀·cosα, v_y = v₀·sinα, t_uçuş = 2·v_y/g, x_menzil = v_x·t_uçuş

Maksimum Havada Kalma Süresi ve Menzil

Hangi açılarda en uzun süre ve en uzak mesafe?

b) Hangi açılarda cirit havada en uzun süre kalır ve hangi açıda en uzağa düşer?

Çözüm:

En Uzun Havada Kalma Süresi:

Düşey hızı en büyük yapan açı tercih edilmelidir.
Tablodaki açılar arasında düşey hızı en yüksek veren açı 60°'dir.
Havada kalma süresi: 2√3 ≈ 3,46 s

En Uzun Menzil (Yatay Mesafe):

Menzili maksimum yapan açı 45°'dir.
Menzil: 40 m

Cevap: En uzun süre 60°'de (3,46 s), en uzak menzil 45°'de (40 m).

Aynı Noktaya Düşen Açılar

Hangi açı çiftleri aynı menzili verir?

c) Hangi açılarla atıldığında cirit aynı noktaya düşer?

Çözüm:

Kural:

Aynı ilk hız büyüklüğüyle atılan bir cismin yerde aynı noktaya düşebilmesi için atış açılarının toplamının 90° olması gerekir.
Birbirini 90°'ye tamamlayan açılar eşit menzil verir.

Açı Çiftleri:

30° ve 60° → Menzil: 20√3 ≈ 34,64 m
37° ve 53° → Menzil: 38,4 m

Cevap: 30°-60° ve 37°-53° açı çiftleri aynı noktaya düşer.

Eğik Atış - Önemli Formüller

Hız Bileşenleri

v_x = v₀·cosα
v_y = v₀·sinα

Uçuş Süresi

t_uçuş = 2·v_y/g
Düşey hız ile orantılı

Menzil

x = v_x·t_uçuş
Maksimum 45°'de

Hatırlatma: 45° açı maksimum menzil sağlar. Birbirini 90° tamamlayan açıların menzilleri eşittir.