MATEMATİĞİN MİLYON DOLARLIK SORUSUNU İSPATLAMAK İÇİN YENİ BİR BAKIŞ: RİEMANN HİPOTEZİ

    matematiğin milyon dolarlık sorusunu ispatlamak için yeni bir bakış: riemann hipotezi

    Riemann, Riemann zeta fonksiyonunun nontrivial sıfırlarının kompleks düzlemde dikey çizgide (½ + it) uzandığını ve bunun gerçek kısmının daima ½ olduğu varsayımını 1859'da önermiştir.

         Araştırmacılar, Riemann zeta fonksiyonu adı verilen ünlü bir matematiksel fonksiyonun çözümlerinin matematiğin en büyük problemlerinden biri olan Riemann hipotezini çözmeyi kolaylaştıracak başka bir fonksiyonun çözümlerine karşılık geldiğini keşfettiler.

         Riemann hipotezi 1859 yılına dayanıyor olsa da, son 100 yıldır matematikçiler burada keşfedilen gibi bir operatör fonksiyonu bulmaya çalışıyorlar çünkü bu kanıtın önemli bir adımı olarak görülüyor.

         Londra'daki Brunel Üniversitesi matematiksel fizikçi Dorje Brody, “Bildiğimiz kadarıyla, açık ve belki de şaşırtıcı derecede nispeten basit bir operatörün, özdeğerleri [matris terminolojisinde 'çözümler'] tam olarak Riemann zeta fonksiyonunun nontrivial sıfırlarına karşılık geldiği ilk defa tespit edilmiştir” dedi.

         İspatlanmaya devam etmekte olan ikinci önemli adım: özdeğerlerin tümü hayali olanlardan ziyade gerçek sayılardır. Gelecekteki çalışmalar bunu ispatlayabilirse, Riemann hipotezini nihayet ispatlanacaktı.

         ASAL ARALIK

         Riemann hipotezi, sayı teorisine ve özellikle asal sayılara derinden bağlı olduğu için bu kadar güçlü bir cazibe barındırır. 1859 tarihli makalesinde, Alman matematikçi Bernhard Riemann, asal sayıların dağılımını araştırdı daha doğrusu, "N'lik bir sayı verildiğinde, N'den küçük kaç asal sayı var?" Sorusu araştırıldı.

         Riemann, N'den küçük asal sayıların dağılımının şu anda Riemann zeta fonksiyonu, ζ (s) olarak adlandırılan sıfır olmayan sıfırlarla ilişkili olduğunu öne sürdü. (Sıfırlar, işlevi sıfıra eşit hale getiren değerleridir. Matematikçiler, s negatif bir çift sayı olduğunda sıfırların olduğunu görmek kolay olsa da, bu sıfırlar önemsiz sıfırlar olarak kabul edilir ve fonksiyonun ilginç kısmı değildir.)

         Riemann'ın hipotezi, büyük olmayan sıfırların hepsinin karmaşık düzlemde tek bir dikey çizgi boyunca (½ + it ) uzanmasıydı; yani bunların gerçek bileşeni her zaman ½, hayali bileşeni “i” siz yukarı ve aşağı doğru hareket ederken değişir.

         Geçen 150 yılda, matematikçiler tam anlamıyla trilyonlarca önemli olmayan sıfır bulmuşlardır ve Riemann'ın yaptığı gibi, hepsinin ½'lik bir bileşenine sahiptir. Riemann hipotezinin doğru olduğuna yaygın olarak inanılıyor ve bu varsayım temel alınarak çok çalışma yapılmıştır. Yoğun çabalara rağmen Riemann hipotezi bu sınırsız sıfırın hepsinin bu tek hat üzerinde bulunduğu- henüz kanıtlanmadı.

         ÖZDEŞ ÇÖZÜMLER

         Riemann hipotezini ispatlamak için en faydalı ipuçlarından biri, fonksiyonun kaybolduğu sanal kısım, t'nin ayrı sayıları olduğunu ortaya koyan fonksiyon teorisinden gelmiştir. Bu, önemli olmayan sıfırların, fizikte yaygın olarak kullanılan diferansiyel operatör adı verilen başka bir fonksiyonun özdeğerleri gibi gerçek ve ayrık bir dizi kümeden oluştuğunu düşündürmektedir.

    ,

         1900'lerin başında bu benzerlik, bazı matematikçilere, özdeğerleri tam olarak Riemann zeta fonksiyonunun sıfır olmayan sıfırlarına tekabül eden diferansiyel bir operatörün var olup olmadığını merak ettirdi. Bugün bu fikrine Hilbert-Pólya varsayımı deniliyor. (David Hilbert - George Pólya) İkisi de bu konuda hiçbir şey yayınlamamıştır.

         "Hilbert ve Pólya tarafından yayınlanmadığından, Hilbert-Pólya programının tam açıklaması bir dereceye kadar yoruma bağlıdır, ancak muhtemelen iki aşamadan oluştuğunu söylemek mantıksız değildir: (a) Özdeğerler Riemann zeta fonksiyonunun önemli olmayan sıfırlarına tekabül eder ve (b) özdeğerlerin gerçek olup olmadığını belirler, "dedi. "Şimdiye kadar yaptığımız çalışmanın odak noktası (a) basamağı üzerinde" dedi. "Özdeğerleri Riemann zeta fonksiyonunun tam anlamıyla sıfıra eşit olan bir operatöre rastladık. Bu aşamayı (b) düşünmeye başladık ve gerçekten de bu zorluğun üstesinden nasıl geleceğiz sadece doldurmak zor ya da kolay olacak (B) basamağına doğru eksik adımlar attığımızda, bu noktada spekülasyon yapamayız, ilgili zorluk derecesine göre daha iyi bir duygu elde etmek için daha fazla çalışmaya ihtiyaç var. "

         OPERATÖR

         Yeni keşfedilen operatörün ilginç şeylerinden biri, kuantum fiziği ile yakın bağları olması.

         1999'da, matematiksel fizikçiler Michael Berry ve Jonathan Keating Hilbert-Pólya'nın tahminlerini soruştururken bir başka önemli varsayım yapmışlardır. Böyle bir operatör var ise, o zaman belirli özelliklere sahip teorik bir kuantum sistemine karşılık gelmelidirler. Buna şimdi Berry Keating varsayımı deniyor. Fakat bugüne kadar hiç kimse böyle bir sistemi daha önce bulamadı ve bu yeni çalışmanın ikinci önemli bir yönü.

         Brody, "Berry-Keating Hamiltonian için bir nicelleştirme koşulunu belirledik, böylece Berry-Keating'in varsayımının doğruluğunu doğruladık" dedi. Hamiltonyenler genellikle fiziksel sistemlerin enerjisini tanımlamak için kullanılırlar. Bununla birlikte, yeni operatör, herhangi bir fiziksel sistemi tanımlamak için görünmüyor, ancak tamamen matematiksel bir işlevdir.

         Brody, "Hayal kırıcı olabilir, ancak böyle bir Hamiltonyen fiziki sistemi herhangi bir şekilde temsil etmiyor veya en azından bugüne kadar Hamiltonianın herhangi bir fiziksel sisteme karşılık geldiğine dair bir bulgu bulamadık" dedi.

         "Fakat biri neden" neden PRL'de yayınlanıyor ? " Yanıt, makalemizdeki bazı buluşsal analiz için kullanılan, önermekte olan tekniklerden birçoğu, son 15 yıl içinde geliştirilen sahte Hermitik PT-simetrik kuantum teorisinin tekniklerinden ödünç alınmış olmasıdır .Hilbert-Pólya varsayımının konvansiyonel anlayışı Operatörün (Hamiltoniyen) Hermitik olması ve doğal olarak Hamiltonianların Hermitiyen olması için talep edilen kuantum teorisine bağladığı söylenebilir. Hilbert-Pólya programının sahte Hermiten bir formunu önermekteyiz ki bu bizim için daha da keşfedilmeye değer görünüyor "Dedi.

         GERÇEK ÇÖZÜMLER

         Artık kalan en büyük zorluk, operatörün özdeğerlerinin gerçek sayı olduğunu göstermektir.

         Genel olarak, araştırmacılar özdeğerlerin gerçek olduğunu iyimser buluyor ve kuantum fiziğinden gelen bir kavram olan PT simetrisine dayanan bunun için güçlü bir argüman sunuyorlar. Temel olarak, PT simetrisi, uzay-zamanın dört bileşeninin tüm işaretlerini değiştirebileceğiniz (üç alan veya "eşlik" boyutu ve bir zaman boyutu) ve sistem PT-simetrik ise, sonuç aynı görünecektir. Orijinal olarak.

    ,

         Doğa genel olarak PT-simetrik olmasa da, fizikçilerin kurduğu operatördür. Fakat şimdi araştırmacılar, bu simetriğin bozulduğunu göstermek istiyorlar. yazılarında açıkladığı gibi, PT simetrisinin operatörün sanal kısmı için kırıldığı gösterilse, özdeğerlerin hepsinin gerçek sayı olduğu ve Riemann'ın uzun zamandır beklenen kanıtı olduğu sonucuna varılacaktır.

         Genel olarak, Riemann hipotezinin bir kanıtı, bilgisayar bilimi, özellikle kriptografi için çok faydalı olacağı düşünülmektedir. Araştırmacılar ayrıca, daha temel matematiksel ilkeleri anlamaları için sonuçlarının ne anlama geldiğini belirlemek istiyorlar.

         Brody, "Şimdiye kadar araştırdığımız şey az sayıdaki teorik bakış açısı içeriyor; buna karşılık sayı teorisinde önemi göz önüne alındığında, Riemann hipotezinin oluşturulması konusunda başarıyla ilerleme kaydeden girişimlerin sayı-teorik bilgiler sunacağını umuyoruz" dedi. "Elbette ki durum böyle olmamalı, ancak yine de, Hamiltonian tarafından açıklanan varsayımsal sistemin dinamik yönlerinden herhangi birinin, sayı-teorik sonuçlarla bağlantılı olup olmayacağını araştırmak ilginizi çekecektir.Bu bağlamda yarı Hamiltonian üzerindeki klasik analiz bir sonraki hedeflerden biri olacaktı. "

         

         

    Çeviri: Celal DEMİRTAŞ

    More information: Carl M. Bender, Dorje C. Brody, and Markus P. Müller. "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function." Physical Review Letters. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.130201

    Referans Derği:Physical Review Letters

    Yayınlama tarihi: 11.04.2017

.
.