Fizik Eğitiminde Yeni Nesil Yaklaşım

Düşey hareket: h = ½·g·t²

80 = ½·10·t²

80 = 5t²

t² = 16

t = 4 s

Önce düşme süresi: 45 = 5t² → t² = 9 → t = 3 s

Yatay yol: x = v₀·t = 15·3 = 45 m

x = 45 m

h = ½·g·t²

1,25 = 5t²

t² = 0,25

t = 0,5 s

Düşme süresi: 125 = 5t² → t² = 25 → t = 5 s

Yatay menzil: x = v₀·t = 30·5 = 150 m

x = 150 m

Yatay hız sabit: v_x = 10 m/s

Bileşke hız: v² = v_x² + v_y²

50² = 10² + v_y²

2500 = 100 + v_y²

v_y² = 2400 → v_y = √2400 ≈ 49 m/s

v_y = g·t → t = v_y/g ≈ 4,9 s

h = ½·10·(4,9)² ≈ 5·24,01 ≈ 120 m

(Tam değerle: h = v_y²/(2g) = 2400/20 = 120 m)

h = 120 m

Düşme süresi: 500 = 5t² → t² = 100 → t = 10 s

Paket yatay yol: x_paket = 100·10 = 1000 m

Uçak da aynı sürede 100·10 = 1000 m yol alır.

Paket tam olarak uçağın altına düşer (uçak ile aynı hizada).

Düşme süresi: 80 = 5t² → t² = 16 → t = 4 s

Düşey hız: v_y = g·t = 10·4 = 40 m/s

Bileşke: v² = v₀² + v_y²

60² = v₀² + 40²

3600 = v₀² + 1600

v₀² = 2000

v₀ = √2000 ≈ 44,7 m/s

Düşme süresi: 20 = 5t² → t² = 4 → t = 2 s

Yatay menzil: x = v₀·t

40 = v₀·2

v₀ = 20 m/s

Düşme süresi: 45 = 5t² → t = 3 s

Düşey hız: v_y = 10·3 = 30 m/s

tan53° = v_y/v_x → 4/3 = 30/v_x

v_x = 30·3/4 = 22,5 m/s

Yatay hız sabit olduğundan ilk hız: v₀ = 22,5 m/s

v₀ = 22,5 m/s

v₀y = v₀·sin37° = 20·0,6 = 12 m/s

h_max = v₀y²/(2g) = 144/20 = 7,2 m

h_max = 7,2 m

v₀y = 50·sin53° = 50·0,8 = 40 m/s

Uçuş süresi: t = 2·v₀y/g = 2·40/10 = 8 s

t = 8 s

v₀x = 30·cos37° = 30·0,8 = 24 m/s

v₀y = 30·sin37° = 30·0,6 = 18 m/s

Uçuş süresi: t = 2·18/10 = 3,6 s

Menzil: x = 24·3,6 = 86,4 m

x = 86,4 m

v₀y = 40·0,8 = 32 m/s

h = v₀y·t − ½·g·t²

h = 32·3 − 5·9 = 96 − 45 = 51 m

h = 51 m

v₀x = 25·0,8 = 20 m/s

v₀y = 25·0,6 = 15 m/s

Maksimum yüksekliğe ulaşma süresi: t = v₀y/g = 15/10 = 1,5 s

Yatay yol: x = 20·1,5 = 30 m

x = 30 m

Verilenler: v₀ = 25 m/s, açı = 53°, başlangıç yüksekliği h₀ = 30 m, t = 5 s

Düşey Hız Bileşeni

v₀y = v₀ · sin53° = 25 · 0,8 = 20 m/s

t = 5 s Sonraki Yükseklik

h = h₀ + v₀y·t − ½·g·t²

h = 30 + 20·5 − ½·10·(5)²

h = 30 + 100 − 125

h = 130 − 125 = 5 m

Cisim 5 saniye sonra yerden 5 m yüksekliktedir.

Kontrol

• Uçuş süresi (tepeye kadar): t_tepe = v₀y/g = 20/10 = 2 s
• Maksimum yükseklik: h_max = 30 + 20²/(2·10) = 30 + 20 = 50 m
• Tepe noktasından sonra 3 s daha geçmiş (5 − 2 = 3 s): düşüş = ½·10·3² = 45 m
• Kalan yükseklik: 50 − 45 = 5 m ✓

Yer çekimi ivmesini g = 10 m/s² alalım. Topun hava direncine maruz kalmadığını ve karşı sahanın son çizgisine çarptığını kabul edelim.

1. Verilenler

• Voleybol sahasının genişliği: 18 m
• File (perde) yüksekliği: 2,4 m
• Topun atıldığı yükseklik: 2,8 m
• Yer çekimi ivmesi: 10 m/s²

Çınar topu kendi sahasının son çizgisinden atıyorsa, fileye uzaklığı 9 m, karşı sahanın son çizgisine uzaklığı ise 18 m olur.

2. Yatay hareket

Yatay hız sabit olduğundan,

x = v_x · t

Topun karşı sahanın son çizgisine ulaşması için:

18 = v_x · t

Buradan,

v_x = 18 / t

3. Düşey hareket

Düşey konum denklemi:

y = y₀ + v_y·t − ½·g·t²

Topun son çizgiye zeminden çarptığını düşünürsek y = 0 olur:

0 = 2,8 + v_y·t − 5t²

Buradan,

v_y = 5t − 2,8/t

4. Topun fileyi teğet geçmesi

Top fileye ulaştığında yatayda 9 m yol almıştır. Bu nedenle fileye ulaşma süresi t/2 olur.

File yüksekliği 2,4 m olduğundan:

2,4 = 2,8 + v_y·(t/2) − 5·(t/2)²

Düzenlersek:

v_y·(t/2) − (5/4)·t² = −0,4

Önceki denklemdeki v_y = 5t − 2,8/t ifadesini yerine yazalım:

(t/2)·(5t − 2,8/t) − (5/4)·t² = −0,4

2,5t² − 1,4 − 1,25t² = −0,4

1,25t² = 1

t² = 0,8

t ≈ 0,894 s

5. Hız bileşenleri

Yatay hız:

v_x = 18 / 0,894

v_x ≈ 20,12 m/s

Düşey hız:

v_y = 5·(0,894) − 2,8/0,894

v_y ≈ 1,34 m/s

Sonuç

• Topun havada kalma süresi: t ≈ 0,894 s
• Yatay hız bileşeni: v_x ≈ 20,12 m/s
• Düşey hız bileşeni: v_y ≈ 1,34 m/s

Soruyu eğik atış hareketi ve duvardan yansıma prensibiyle çözelim.

1. Yatay hareket

Top, duvara 40 m uzaklıkta çarpıyor ve duvardan 20 m geri dönerek yere düşüyor.

Toplam yatay hareket mesafesi:

x = 40 + 20 = 60 m

Yatay hız sabit olduğundan:

v_x = v₀·cos53°

v_x = 0,6·v₀

2. Düşey hareket

Top, atıldığı seviyeye (yere) tekrar düştüğü için toplam uçuş süresi:

t = (2·v₀·sin53°) / g

Verilen değerleri yerine yazalım:

t = (2·v₀·0,8) / 10

t = 0,16·v₀

3. Yatay mesafeden ilk hızı bulalım

Yatay mesafe bağıntısı:

x = v_x·t

Değerleri yerine yazarsak:

60 = (0,6·v₀)·(0,16·v₀)

60 = 0,096·v₀²

v₀² = 60 / 0,096 = 625

v₀ = √625 = 25 m/s

Cevap

v₀ = 25 m/s

Kısa ve Şık Çözüm:

1. Düşey Hız Eşitliği

Aynı anda atılıp aynı \(t = 3 \, \text{s}\)'de aynı \(h\) yüksekliğinde olduklarına göre düşey ilk hızları eşittir:

\[ v_{Ay} = v_{By} = v_y \]

2. Açı İlişkisinden \(v_y\) Değeri

• \[ v_{Ax} = \frac{v_y}{\tan 37^\circ} = \frac{v_y}{0,75} = \frac{4}{3}v_y \]
• \[ v_{Bx} = \frac{v_y}{\tan 53^\circ} = \frac{v_y}{1,33} = \frac{3}{4}v_y \]

3. Yatay Yol

\[ x = (v_{Ax} + v_{Bx})t \]

\[ 105 = \left(\frac{4}{3}v_y + \frac{3}{4}v_y\right) \cdot 3 \]

\[ 105 = \left(\frac{25}{12}v_y\right) \cdot 3 \]

\[ 105 = \frac{25}{4}v_y \implies v_y = 20 \, \text{m/s} \]

4. \(h\) Yüksekliği

\[ h = v_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]

\[ h = 20(3) - 5(3)^2 \]

\[ h = 60 - 45 = 15 \, \text{m} \]

Cevap

\[ h = 15 \, \text{m} \]

Bu fizik probleminin adım adım çözümü aşağıda verilmiştir:

1. A Cisminin Hareketinin İncelenmesi

Yatay Atış Hareketi: A cismi \(80 \, \text{m}\) yükseklikten yatay atılıyor (\(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)).

Cismin düşeyde aldığı yol:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]

\[ 80 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 \]

\[ 80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4 \, \text{saniye} \]

A Cisminin Yatay Menzili (\(x\)):

\[ x = v_x \cdot t \]

\[ x = 20 \cdot 4 = 80 \, \text{metre} \]

A cismi \(4 \, \text{saniye}\) sonra atıldığı noktanın \(80 \, \text{m}\) yatay ilerisindeki bir noktaya düşer.

2. B Cisminin Hareketinin İncelenmesi

B cismi, A cismi ile aynı düşey hizada (aynı yatay hizada başlayarak) yatayla \(37^\circ\) açı yapacak şekilde \(v\) hızıyla eğik atılıyor ve A cismi ile aynı noktaya düşüyor.

B Cisminin Uçuş Süresi (\(t_{uçuş}\)):

İki cisim aynı anda atılıp aynı noktaya düştükleri için uçuş süreleri eşittir:

\[ t_{uçuş} = 4 \, \text{saniye} \]

B Cisminin Yatay Menzili (\(x\)):

A cismi ile aynı noktaya düştüğü için yatayda aldığı yol da \(80 \, \text{metre}\) olmalıdır:

\[ x = v_x \cdot t_{uçuş} \]

\[ x = (v \cdot \cos 37^\circ) \cdot t_{uçuş} \]

\(\cos 37^\circ = 0{,}8\) değerini yerine koyalım:

\[ 80 = (v \cdot 0{,}8) \cdot 4 \]

\[ 80 = 3{,}2 \cdot v \]

\[ v = \frac{80}{3{,}2} = 25 \, \text{m/s} \]

Sonuç

B cisminin atılma hızı:

\[ v = 25 \, \text{m/s} \]

Eğik atış: h₁ = 12t − 5t² (v₀y = 20·0,6 = 12)

Serbest bırakılan: h₂ = 45 − 5t²

Karşılaşma: 12t − 5t² = 45 − 5t²

12t = 45

t = 3,75 s

Yatay atış düşme süresi: 45 = 5t² → t = 3 s

Eğik atış: v₀y = 25·0,8 = 20 m/s

h = 20·3 − 5·9 = 60 − 45 = 15 m

h = 15 m

Yatay atış: y₁ = 125 − 5t²

Eğik atış: y₂ = 40t − 5t² (v₀y = 50·0,8 = 40)

Karşılaşma: 125 − 5t² = 40t − 5t²

125 = 40t

t = 3,125 s

Yatay atış: y₁ = 60 − 5t²

Eğik atış: y₂ = 24t − 5t² (v₀y = 40·0,6 = 24)

Karşılaşma: 60 − 5t² = 24t − 5t²

60 = 24t → t = 2,5 s

y = 24·2,5 − 5·6,25 = 60 − 31,25 = 28,75 m

y = 28,75 m

Cisim 135 m yükseklikten, yatayla aşağı yönde \(37^\circ\) açı yapacak biçimde \(50 \, \text{m/s}\) ilk hızla fırlatılıyor. Yere çarpana kadar aldığı yatay uzaklık \(x\) isteniyor.

Verilenler:

• \(h = 135 \, \text{m}\)
• \(v_0 = 50 \, \text{m/s}\)
• \(g = 10 \, \text{m/s}^2\)
• \(\sin 37^\circ = 0{,}6\), \(\cos 37^\circ = 0{,}8\)

1. Hızın bileşenlerini bulalım

Yatay hız bileşeni:

\[ v_x = v_0 \cos 37^\circ \]

\[ v_x = 50 \cdot 0{,}8 = \boxed{40 \, \text{m/s}} \]

Düşey hız bileşeni aşağı yönlüdür:

\[ v_y = v_0 \sin 37^\circ \]

\[ v_y = 50 \cdot 0{,}6 = \boxed{30 \, \text{m/s}} \]

2. Düşey hareketten uçuş süresini bulalım

Cisim aşağı yönde ilk düşey hızla hareket ettiğinden:

\[ h = v_y t + \frac{1}{2} g t^2 \]

Değerleri yerine yazalım:

\[ 135 = 30t + 5t^2 \]

Düzenlersek:

\[ 5t^2 + 30t - 135 = 0 \]

Her iki tarafı 5'e bölelim:

\[ t^2 + 6t - 27 = 0 \]

Çarpanlarına ayıralım:

\[ (t + 9)(t - 3) = 0 \]

Zaman negatif olamayacağı için:

\[ \boxed{t = 3 \, \text{s}} \]

3. Yatay uzaklığı hesaplayalım

Yatay hız sabit olduğundan:

\[ x = v_x t \]

\[ x = 40 \cdot 3 \]

\[ \boxed{x = 120 \, \text{m}} \]

Cevap

Cisim yatayda 120 metre yol alır.

Verilenler: \(v_1 = v_2 = v\)

1. Maksimum yüksekliklerinin oranı \(\frac{h_1}{h_2}\)

Cisimlerin maksimum yüksekliği, ilk hızlarının düşey bileşenine bağlıdır:

\[ h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \]

Birinci cisim için:

\[ h_1 = \frac{v^2 \sin^2 30^\circ}{2g} = \frac{v^2 (0{,}5)^2}{2g} \]

İkinci cisim için:

\[ h_2 = \frac{v^2 \sin^2 60^\circ}{2g} = \frac{v^2 (\sqrt3/2)^2}{2g} \]

Oranlayalım:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sin^2 30^\circ}{\sin^2 60^\circ} = \frac{1/4}{3/4} \]

\[ \boxed{\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{3}} \]

2. Uçuş sürelerinin oranı \(\frac{t_1}{t_2}\)

Cisimler atıldıkları seviyeye düştüğü için uçuş süresi:

\[ t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} \]

Birinci cisim için:

\[ t_1 = \frac{2v \sin 30^\circ}{g} \]

İkinci cisim için:

\[ t_2 = \frac{2v \sin 60^\circ}{g} \]

Oranlayalım:

\[ \frac{t_1}{t_2} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt3/2} \]

\[ \boxed{\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{\sqrt3}} \]

3. Yatay menzillerinin oranı \(\frac{x_1}{x_2}\)

Cisimlerin yatay menzili:

\[ x = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \]

Birinci cisim için:

\[ x_1 = \frac{v^2 \sin 60^\circ}{g} \]

İkinci cisim için:

\[ x_2 = \frac{v^2 \sin 120^\circ}{g} \]

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\) olduğundan:

\[ \boxed{\frac{x_1}{x_2} = 1} \]

Yani iki cisim yatayda eşit menzil alır.

Sonuç tablosu

Karşılaştırma	Oran	Sonuç
Maksimum yükseklik	\(\frac{h_1}{h_2}\)	\(\mathbf{\frac{1}{3}}\)
Uçuş süresi	\(\frac{t_1}{t_2}\)	\(\mathbf{\frac{1}{\sqrt3}}\)
Yatay menzil	\(\frac{x_1}{x_2}\)	\(\mathbf{1}\)

Önemli bilgi: İlk hızları eşit olan ve aynı seviyeden atılıp aynı seviyeye düşen cisimlerde, atış açıları toplamı \(90^\circ\) ise yatay menziller eşittir. Burada \(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\) olduğundan menziller eşittir.

Verilenler:

• \(v_0 = 50 \, \text{m/s}\)
• Açı \(= 53^\circ\) (yukarı yönlü)
• Yatay yol \(x = 270 \, \text{m}\)
• \(\sin 53^\circ = 0{,}8\), \(\cos 53^\circ = 0{,}6\)

a) Top güllesinin havada kalma süresi

Yatay hız sabit olduğundan:

\[ v_x = v_0 \cos 53^\circ = 50 \cdot 0{,}6 = 30 \, \text{m/s} \]

Yatay yol bağıntısından süreyi bulalım:

\[ x = v_x \cdot t \implies 270 = 30 \cdot t \]

\[ \boxed{t = 9 \, \text{s}} \]

b) İki tepe arasındaki yükseklik farkı (\(h\))

Düşey hız bileşeni:

\[ v_y = v_0 \sin 53^\circ = 50 \cdot 0{,}8 = 40 \, \text{m/s} \]

Düşey konum denklemi (\(y\) yukarı yönlü pozitif):

\[ y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2 \]

\(t = 9 \, \text{s}\) için:

\[ y = 40 \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9^2 \]

\[ y = 360 - 5 \cdot 81 \]

\[ y = 360 - 405 = -45 \, \text{m} \]

Sonuç negatif çıktığı için hedef tepe, atış noktasından 45 m aşağıdadır.

Cevap

a) \(t = 9 \, \text{s}\)    b) \(h = 45 \, \text{m}\)

1. Kartopunun Hız Bileşenleri:

• Yatay Hız (\(v_x\)): \(50 \cdot \cos 37^\circ = 50 \cdot 0{,}8 = \mathbf{40 \, \text{m/s}}\)
• Düşey İlk Hız (\(v_y\)): \(50 \cdot \sin 37^\circ = 50 \cdot 0{,}6 = \mathbf{30 \, \text{m/s}}\)

2. Kartopunun Havada Kalma Süresi (\(t\)):

Tepe noktasına ulaşma süresi (çıkış):

\[ t_{\text{çıkış}} = \frac{v_y}{g} = \frac{30}{10} = 3 \, \text{s} \]

Toplam uçuş süresi:

\[ t_{\text{uçuş}} = 2 \cdot t_{\text{çıkış}} = 2 \cdot 3 = \mathbf{6 \, \text{saniye}} \]

3. Kartopunun Yatayda Aldığı Yol (\(x_{\text{kartopu}}\)):

\[ x_{\text{kartopu}} = v_x \cdot t_{\text{uçuş}} = 40 \cdot 6 = \mathbf{240 \, \text{metre}} \]

4. Mehmet'in Koştuğu Mesafe (\(x_{\text{Mehmet}}\)):

Başlangıçta aralarındaki mesafe \(150 \, \text{m}\) olduğuna göre:

\[ x_{\text{kartopu}} = 150 + x_{\text{Mehmet}} \]

\[ 240 = 150 + x_{\text{Mehmet}} \implies x_{\text{Mehmet}} = \mathbf{90 \, \text{metre}} \]

5. Mehmet'in Hızı (\(v_{\text{Mehmet}}\)):

\[ x_{\text{Mehmet}} = v_{\text{Mehmet}} \cdot t_{\text{uçuş}} \]

\[ 90 = v_{\text{Mehmet}} \cdot 6 \]

\[ \boxed{v_{\text{Mehmet}} = 15 \, \text{m/s}} \]