SERBEST DÜŞME PROBLEMLERİ
Kullanılan sabitler: g = 10 m/s² (hava direnci ihmal edilecek)
BÖLÜM 1: İLK HIZSIZ (SERBEST BIRAKILAN) CİSİMLER
Elif, 3. kattaki balkondan oyuncağını yanlışlıkla düşürür. Oyuncak, elifin elinden ilk hızsız serbest düşme yapıyor. Bina yüksekliği 45 m olduğuna göre, oyuncak yere kaç saniyede ulaşır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
h = ½·g·t²
45 = ½·10·t²
45 = 5t²
t² = 9
t = 3 s
Bir inşaat işçisi, iskelede çalışırken elindeki çekici yanlışlıkla bırakır. Çekici 20 m yükseklikten serbest düşmeye başlar. Çekici yere çarptığında hızı kaç m/s olur? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
v² = 2·g·h
v² = 2·10·20 = 400
v = 20 m/s
Bir paraşütçü, uçaktan atlamadan önce eğitim kulesinin tepesinden bir kum torbasını serbest bırakır. Kum torbası 5. saniyede kaç metre yol alır? (İlk 4 saniyede aldığı yolu çıkararak bulunuz.) (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
t = 4 s için: h₄ = ½·10·16 = 80 m
t = 5 s için: h₅ = ½·10·25 = 125 m
5. saniyede alınan yol: 125 − 80 = 45 m
45 m
Ali, bir köprünün üzerinden taş atarak aşağıdaki nehre düşmesini izlemektedir. Taş serbest bırakıldıktan sonra 4 saniye boyunca düşer. Köprünün nehre olan yüksekliği kaç metredir ve taş suya çarptığında hızı kaç m/s'dir? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
h = ½·g·t² = ½·10·16 = 80 m
v = g·t = 10·4 = 40 m/s
h = 80 m, v = 40 m/s
Bir bilim insanı, iki farklı yükseklikten aynı anda iki farklı cisim bırakıyor. Birinci cisim 80 m yükseklikten, ikinci cisim 45 m yükseklikten serbest bırakılıyor. İki cisim aynı anda yere düştüğüne göre, ikinci cisim birinciden kaç saniye sonra bırakılmıştır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
1. cisim: 80 = 5t₁² → t₁² = 16 → t₁ = 4 s
2. cisim: 45 = 5t₂² → t₂² = 9 → t₂ = 3 s
İkinci cisim 3 s düşmüş, birinci 4 s düşmüş.
Aynı anda yere düştüklerine göre, ikinci cisim 4 − 3 = 1 saniye sonra bırakılmıştır.
1 saniye sonra
Bir mühendis, iki farklı yükseklikten serbest bırakılan cisimlerle deney yapıyor. A cismi 125 m yükseklikten, B cismi ise 80 m yükseklikten aynı anda serbest bırakılıyor. B cismi yere düştükten kaç saniye sonra A cismi yere düşer? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
A cismi: 125 = 5t_A² → t_A² = 25 → t_A = 5 s
B cismi: 80 = 5t_B² → t_B² = 16 → t_B = 4 s
Fark: 5 − 4 = 1 saniye sonra A cismi yere düşer.
1 saniye sonra
BÖLÜM 2: YUKARIDAN AŞAĞIYA ATILAN CİSİMLER (İlk hızlı, aşağı yönlü)
Bir çocuk, 20 m yükseklikteki bir köprüden elindeki topu 5 m/s hızla aşağıya doğru atıyor. Top yere kaç saniyede ulaşır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
h = v₀·t + ½·g·t²
20 = 5t + 5t²
5t² + 5t − 20 = 0
t² + t − 4 = 0
t = (−1 + √17)/2 ≈ (−1 + 4,12)/2
t ≈ 1,56 s
Bir itfaiyeci, 30 m yükseklikteki bir binanın çatısından bir kovayı 10 m/s hızla aşağıya doğru fırlatıyor. Kova yere çarptığında hızı kaç m/s olur? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
v² = v₀² + 2·g·h
v² = 10² + 2·10·30 = 100 + 600 = 700
v = √700 ≈ 26,5 m/s
Bir helikopter, 140 m yükseklikten bir yardım paketini 15 m/s hızla aşağıya doğru bırakıyor. Paket yere kaç saniyede ulaşır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
140 = 15t + 5t²
5t² + 15t − 140 = 0
t² + 3t − 28 = 0
(t -3 )(t + 7) = 0
t - 3 = 0
t = 3 s
Bir dalgıç, 50 m yükseklikteki bir platformdan suya doğru 5 m/s hızla atlıyor. Dalgıç suya çarptığında hızı kaç m/s olur? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
v² = 5² + 2·10·50 = 25 + 1000 = 1025
v = √1025 = 5√101 ≈ 32 m/s
Bir uçak, 500 m yükseklikten bir paketi 20 m/s hızla aşağıya doğru bırakıyor. Paket bırakıldıktan 4 saniye sonra kaç metre yüksekliktedir? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
Alınan yol: h = 20·4 + ½·10·16 = 80 + 80 = 160 m
Kalan yükseklik: 500 − 160 = 340 m
340 m
Bir binanın tepesinden 5 m/s hızla aşağıya atılan bir cisim, son saniyede 40 m yol alarak yere ulaşıyor. Binanın yüksekliği kaç metredir? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
Verilenler: v₀ = 5 m/s (aşağı yönde), g = 10 m/s², son 1 saniyede alınan yol = 40 m
Toplam Süreyi Bulma
Cismin toplam düşme süresi T olsun. Aşağı atışta t saniyede alınan yol:
h(t) = v₀·t + ½·g·t² = 5t + 5t²
Son saniyede alınan yol, t anındaki yol ile (t − 1) anındaki yolun farkıdır:
h(t) − h(t−1) = (5t + 5t²) − [5(t−1) + 5(t−1)²]
= 5 + 5(2t − 1) = 10t
Bu değer 40 m'ye eşit olmalı:
10t = 40 ⇒ t = 4 s
Binanın Yüksekliği
h = v₀·T + ½·g·t² = 5·(4) + ½·(10)·(4)² = 20 + 80
h = 100 m
Kontrol
- 3. saniyenin sonunda alınan yol: 5(3) + 5(9) = 60 m
- 4. saniyenin sonunda alınan yol: 5(4) + 5(16) = 100 m
- Son saniyede alınan yol: 100 − 60 = 40 m ✓
BÖLÜM 3: AŞAĞIDAN YUKARIYA ATILAN CİSİMLER
Bir çocuk, elindeki topu 20 m/s hızla düşey olarak yukarıya doğru atıyor. Top kaç saniyede en yüksek noktaya ulaşır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
En yüksek noktada v = 0
v = v₀ − g·t
0 = 20 − 10t
t = 2 s
Bir futbolcu, top yerden 50 cm yukarıda iken, topa şut çekiyor. Top 30 m/s hızla düşey olarak yukarıya doğru hareket ediyor. Topun çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
Verilenler: v₀ = 30 m/s, g = 10 m/s², başlangıç yüksekliği h₀ = 50 cm = 0,5 m
Topun Şut Noktasından İtibaren Çıkabileceği Yükseklik
En yüksek noktada v = 0 olduğundan:
h_max = v₀² / (2g) = 30² / (2·10) = 900 / 20 = 45 m
Topun Yerden Yüksekliği
Top, şut çekildiği noktadan itibaren 45 m yükselir. Başlangıçta yerden 0,5 m yüksekte olduğuna göre:
H = h₀ + h_max = 0,5 + 45 = 45,5 m
Topun çıkabileceği maksimum yükseklik = 45,5 m
Kontrol
- v = v₀ − g·t → 0 = 30 − 10t → t = 3 s (tepe noktasına ulaşma süresi)
- h_max = v₀·t − ½·g·t² = 30·3 − ½·10·9 = 90 − 45 = 45 m ✓
- Yerden yükseklik: 0,5 + 45 = 45,5 m ✓
Bir kişi, 40 m/s hızla yere dik doğrultuda yukarıya doğru bir taş atıyor. Taş atıldıktan 5 saniye sonra kaç metre yüksekliktedir? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
h = v₀·t − ½·g·t²
h = 40·5 − ½·10·25 = 200 − 125 = 75 m
75 m
Bir havai fişek, 50 m/s hızla düşey olarak yukarıya doğru fırlatılıyor. Havai fişik patlamadan tekrar aşağı düşüyor. Havai fişek toplam kaç saniye havada kalır? (Sürtünmeler önemsiz. g = 10 m/s2)
Uçuş süresi = 2·v₀/g = 2·50/10
t_toplam = 10 s
Bir top, 60 m/s hızla yukarıya doğru atılıyor. Top atıldıktan kaç saniye sonra 100 m yükseklikte olur? (İki farklı zaman)
h = v₀·t − ½·g·t²
100 = 60t − 5t²
5t² − 60t + 100 = 0
t² − 12t + 20 = 0
(t − 2)(t − 10) = 0
t₁ = 2 s (çıkarken), t₂ = 10 s (inerken)
Bir cisim, 80 m/s hızla yukarıya doğru atılıyor. Cisim atıldıktan 6 saniye sonra kaç metre yüksekliktedir ve hızı kaç m/s'dir?
h = v₀·t − ½·g·t²
h = 80·6 − 5·36 = 480 − 180 = 300 m
v = 80 − 10·6 = 80 − 60 = 20 m/s (yukarı yönlü)
h = 300 m, v = 20 m/s
BÖLÜM 4: KARMA SORULAR
Bir binanın çatısında bulunan A ve B cisimlerinden, A cismi serbest bırakılırken, aynı anda B cismi de 20 m/s hızla aşağıya doğru atılıyor. 2 saniye sonra iki cisim arasındaki mesafe kaç metre olur?
A: hA = ½·10·4 = 20 m
B: hB = 20·2 + ½·10·4 = 40 + 20 = 60 m
Fark: 60 − 20 = 40 m
40 m
Yerden yeterince yüksek bir noktada duran bir cisim iç patlama sonucu iki parçaya ayrılıyor. parçalardan biri serbest düşme yaparken diğer parça ise 30 m/s ilk hızla düşey yukarı harekete başlıyor. 1 saniye sonra iki cisim arasındaki mesafe kaç metre olur?
A (serbest): hA = ½·10·1 = 5 m (aşağı)
B (yukarı): hB = 30·1 − ½·10·1 = 30 − 5 = 25 m (yukarı)
Aralarındaki mesafe: 5 + 25 = 30 m
30 m
120 m yükseklikte bulunan A ve B cisimlerinden, A cismi serbest bırakılırken aynı anda B cismi de 10 m/s hızla düşey aşağıya atılıyor. B cismi yere ulaştığında A cismi yerden kaç metre yüksekliktedir?
B: 120 = 10t + 5t² → 5t² + 10t − 120 = 0 → t² + 2t − 24 = 0
(t + 6).(t - 4) = 0 ise, t = 4 s
A: hA = ½·10·(4)² = 5·16 = 80 m düşer
Kalan yükseklik: 120 − 80 = 20 m
Bir cisim 125 m yükseklikten serbest bırakılırken aynı doğrultuda bir başka cisim aynı anda yerden yukarı yönde 50 m/s hızla atılıyor. İki cisim kaç saniye sonra karşılaşır?
Karşılaşma: h₁ + h₂ = 125
½·10·t² + (50t − ½·10·t²) = 125
5t² + 50t − 5t² = 125
50t = 125
t = 2,5 s
Bir cisim yerden 100 m/s hızla yukarıya doğru atılırken, aynı doğrultuda bir başka cisim aynı anda 500 m yükseklikten 20 m/s hızla aşağıya doğru atılıyor. İki cisim karşılaştıklarında yerden kaç metre yüksekliktedir?
Karşılaşma: h₁ + h₂ = 500
(100t − 5t²) + (20t + 5t²) = 500
120t = 500
t = 25/6 ≈ 4,17 s
h₁ = 100·(25/6) − 5·(25/6)² = 2500/6 − 5·625/36 = 416,67 − 86,81 ≈ 329,86 m
Yaklaşık 330 m yükseklikte karşılaşırlar.
200 m yükseklikten A cismi serbest bırakılıyor. Aynı anda yerden C cismi 80 m/s hızla yukarıya atılıyor. İki cisim karşılaştıklarında yerden kaç metre yüksekliktedir?
h_A + h_C = 200
5t² + 80t − 5t² = 200
80t = 200 → t = 2,5 s
h_C = 80·2,5 − 5·(2,5)² = 200 − 31,25 = 168,75 m
168,75 m
300 m yükseklikten A cismi serbest bırakılırken aynı hizada ve aynı anda B cismi 40 m/s hızla aşağıya atılıyor. Yerden C cismi de aynı anda 100 m/s hızla yukarıya atılıyor.
a) C cismi A ile kaç saniye sonra aynı hizada karşılaşır?
b) C cismi B ile kaç saniye sonra aynı hizada karşılaşır?
a) A + C: 5t² + 100t − 5t² = 300 → 100t = 300 → t = 3 s
b) B + C: (40t + 5t²) + (100t − 5t²) = 300 → 140t = 300 → t = 15/7 ≈ 2,14 s