VINCENT M. GUIBOUT, DANIEL J. SCHEERES, Elsevier Astrodynamics Serisinde, 2006
Üç cisim problemi, üç nokta kütle parçacıklarının karşılıklı kütle çekim etkileşimleri altındaki hareketini tanımlar. Bu, astrodinamikte çok çeşitli durumları kapsayan klasik bir sorundur. Ay'ın ve Güneş'in etkisi altındaki Dünyanın hareketi bu probleme örnek olarak gösterilebilir. Bununla birlikte, bu sorunun genel bir çözümü yoktur ve bu nedenle genellikle fiziksel muhakeme ile doğrulayan basitleştirilmiş formülasyonlar düşünülür.
Bu bölümde üç basitleştirmeyi ele alacağız.
1. Üç cisimden birinin diğer iki cisme göre ihmal edilebilir kütlesi vardır.
2. İki büyük cisimden biri diğerinin dairesel yörüngesinde hareket eder.
3. İki büyük cisimden biri diğerinden daha büyük bir kütleye sahiptir (örneğin Güneşin, Dünyadan daha büyük kütleye sahip olması gibi).
C.C. CONLEY, Uluslararası Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler ve Lineer Olmayan Mekanik Sempozyumu, 1963
Bu bölüm, düzlem kısıtlamasıyla üç cisim probleminin yeni periyodik çözümlerini tartışmaktadır. Üç cisim problemi iki cismin çekimi ve hareket etkileri ile oluşturdukları bir ağırlık merkezi etrafındaki yörüngelerinde dönerken üçüncü bir cismin bu iki cisme hiçbir etkide bulunmamasıdır. 3. Cismin, oluşturduğu sıfır kütleli ağırlık merkezinin diğer iki cismin ağırlık merkezine çok yakın olduğunu varsaymaktayız, bu yarattığı etkiyi açıklamaktadır.
Jack J. Lissauer, Carl D. Murray, Güneş Sistemi Ansiklopedisinden (Üçüncü Baskı), 2014
On dokuzuncu yüzyılda, Henri Poincaré dairesel sınırlı üç cisim probleminin matematiğini inceledi. Bu problemde, bir kütle (ikincil) merkezi bir kütle (birincil) etrafında sabit, dairesel bir yörüngede hareket ederken, kütlesiz (test) bir parçacık her iki kütlenin yerçekimi etkisi altında hareket eder, ancak yörüngelerini bozmaz. Bu çalışmadan Poincaré, hareket denklemlerinin basitliğine rağmen, soruna bazı çözümlerin karmaşık davranışlar sergilediğini fark etti.
Poincaré’nin göksel mekanikteki çalışmaları, modern doğrusal olmayan dinamik teorisi için bir çerçeve sağladı ve nihayetinde kaos olgusunu daha derin bir anlayışa götürdü, böylece basit denklemlerle tanımlanan dinamik sistemler öngörülemeyen davranışlara yol açabilir. Belirli bir sistemin yeterince küçük pertürbasyonlara karşı kararlı olup olmadığı sorusu, Poincaré'nin çalışmasında kökenleri olan Kolmogorov-Arnol’d-Moser teorisinin temelidir.
Kaotik hareketin bir özelliği, başlangıç koşullarındaki küçük değişikliklerin çok farklı sonuçlara yol açabilmesidir. Güneş sistemindeki nesnelerin tüm konum ve hız ölçümleri sınırlı bir hassasiyete sahip olduğundan, sistemin başlangıç durumunda nispeten küçük belirsizlikler, faz uzayındaki kaotik bölgelerde bulunan başlangıç koşulları için son durumda büyük hatalara yol açabilir.
Bu, ilk olarak kaotik hava sistemleri bağlamında bahsedilen “kelebek etkisi” olarak bilinen şeyin bir örneğidir. Doğru koşullar altında, dünyanın bir yerinde küçük bir atmosferik sorunun (bir kelebeğin kanatlarının çırpılması gibi) nihayetinde dünyanın başka bir yerinde bir kasırgaya yol açabileceği öne sürülmüştür.
Bir yörüngedeki kaotik olduğunu gösteren değişiklikler, örneğin gezegene yakın bir yaklaşım sırasında çok hızlı bir şekilde veya milyonlarca hatta milyarlarca yıl boyunca sarsıntılar biriktikçe çok yavaş gerçekleşebilir. Poincaré’nin zamanından beri doğrusal olmayan dinamiklerin araştırılmasında bir takım önemli matematiksel ilerlemeler olmasına rağmen, dijital bilgisayarın güneş sistemindeki kaotik hareketi araştırmanın en önemli aracı olduğu kanıtlanmıştır. Bu özellikle, az sayıda analitik sonucun olduğu tüm gezegenlerin yerçekimi etkileşimi çalışmalarında için doğrudur.
DENNIS H. ROUVRAY, Kimyada Bulanık Mantık, 1997
Rastgele olayların ortaya çıkmasına ve kuantum mekaniğindeki olasılık teorisi açısından yorumlanan doğal belirsizliklere ek olarak, tam olarak belirlenmiş sistemlerde ortaya çıkabilecek başka bir belirsizlik türü vardır. Bu oldukça şaşırtıcı belirsizlik çeşitliliğine genel olarak kaos deniliyor; daha kesin olarak deterministik kaos olarak tanımlanmalıdır. Olasılıksal teoriler söz konusu olduğunda, incelenen sistem için bir tür determinizm oluşturmak için şans olayları kullanılırken, kaos teorisi söz konusu olduğunda, belirsizlikten sorumlu olan sistemin kendisinin deterministik doğasıdır. On dokuzuncu yüzyılın sonuna kadar, tam olarak belirlenmiş sistemlerin her zaman öngörülebilir davranış sergileyeceklerine ve rastgele davranış gösteremeyeceklerine inanılıyordu. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu nedenle, bu tür davranışların hiçbir örneği göz ardı edilir ve fark edilmez. Deterministik fiziksel sistemlerde kaotik olay olasılığını ciddiye alan ilk kişi Fransız matematikçi Poincare'dir.
Üç kütle çekimiyle etkileşime giren göksel cismin yörüngelerinin araştırılmasını içeren üç cisim probleminin kapsamlı analizinden56, çığır açan keşiflere gelindi.
İlk denklemleri tam olarak tanımlanmış ve kullandığı değişkenler (cisimlere ilişkin pozisyonlar ve süreler gibi) düzgün bir şekilde belirtilmiş olsa da, bu cisimlerin ileriye yönelik davranışlarını güvenilir bir şekilde tahmin etmenin hiçbir yolu olmadığını bulundu. Poincaré, sözde determinist Newton sistemlerinde karmaşıklık ve öngörülemezliğin kapsamı olduğunu ispatlamıştır.
O sırada fiziksel gerçekliğin modellenmesi büyük ölçüde diferansiyel denklemlerin kullanımına dayanıyordu ve bu bağlamda Poincaré trendi takip etti. Bu tür denklemlerin kullanımı tesadüf değildir çünkü bu denklemlerden elde edilen pürüzsüz ve sürekli çözümlerin doğayı doğru bir şekilde yansıttığı varsayılmıştır, Öklid geometrisi açısından sürekli ve yorumlanabilir olarak kabul edilirdi. Basit bir sarkaçın hareketinden Güneş çevresindeki gezegenlerin hareketlerine kadar çok sayıda problemin bu denklemlerle çözüldüğü düşünülmüştür. Bununla birlikte, nihayetinde, çeşitli problemlerin bu nispeten basit şekilde tatmin edici bir şekilde çözülemediği giderek daha belirgin hale geldi. Örneğin Poincaré tarafından ele alınan üç cisim sorunu, bir diğeri de yüksek Reynolds sayısına sahip sıvılarda türbülans oluşmasıydı. Bu tür doğrusal olmayan problemler çözülmemiş olma eğilimindeydi çünkü kendilerine uygun bir matematiksel ifade yoktu; her biri kendi başına bir yasa gibi görünüyordu.
Newton sistemlerinin karakteristik olduğu bilinen klasik çekiciler ve kararlı çözümler, sonunda kaotik sistemlerde garip çekiciler ve kararsız çözümler olarak değiştirildi. Garip cazibe kavramı ilk kez 1971'de ortaya atıldı. Geometrik bir bakış açısından, bu çekici noktaların sürekliliği olarak görülebilir. Bununla birlikte, noktaların düzenlenmesi düz eğrilerdekinden farklıdır ve parçalanmış veya daha doğru bir şekilde bir fraktal desen şeklini alır. Bu tür desenler, sistemdeki marjinal veya tamamen kararsız olan hareketi temsil eder. Bu, sistem için hemen hemen aynı başlangıç koşullarının, önemli bir süre boyunca izlenen kalıplar açısından çok farklı sistem dinamikleri üreteceği anlamına gelir. Kararsızlık, fiziksel sistemleri modellemek için kullanılan diferansiyel denklemlerin, içlerinde değişkenler belirli değerleri aldığında ortaya çıkan doğal duyarlılıkları içerdiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle denklemler, girdi değişkenlerinin belirli değerleri için, bu tür denklemlerin cebirsel seriler açısından çözülmesi, zamana göre çıktı değişkenlerinin yakınsak değerlerinden ziyade ıraksaklığa yol açacaktır. Dolayısıyla, başlangıç koşullarına bağlı olarak, fiziksel sistemlerin dinamiği ya kararlı ya da kararsız olabilir. Kaotik davranışı karakterize eden başlangıç koşullarına aşırı duyarlılık, başlangıç koşullarındaki küçük farklılıkların bile sistemin zaman evriminde tamamen farklı sonuçlara yol açacağı anlamına gelir. Bu da genel olarak fiziksel dünyadaki olayları kesin olarak tahmin etmeyi imkânsız kılar.
Nihayetinde fiziksel bir sistemi tanımlamak için benimsediğimiz niceliksel matematiksel model ne olursa olsun, bu sistemde her zaman indirgenemez belirsizliğin bir bileşeni olacaktır. Örneğin, Newton mekaniği açısından modellenmiş sistemleri düşünün.
Artık bu sistemlerin matematiksel olarak başlangıçta düşünüldüğünden çok daha zengin olduğunu biliyoruz. Çünkü hepsinin uzun zamandır yeni kaotik çözümleri var. Bu ikinci tip davranış genellikle sistemde rastgele faktörlerin varlığına atfedilir ve bu nedenle genellikle istatistiksel analiz yoluyla ele alınabileceği düşünülür. Kaotik davranış örnekleri her yerde bulunur ve astronomik oranlardan atom boyutlarına kadar olan sistemlerde bulunur.
Kaos sadece astronomik alanda ortak bir özellik değildir; her türlü fiziksel sistemde bunun örnekleri bolca bulunur. Tipik olarak fizikçiler tarafından incelenen sistemlerde, örneğin zorla salınıma maruz kalan sarkaçların düzensiz hareketi veya türbülans halindeki akışkanlarda öngörülemeyen hareketlerle karşılaşılır. Bu tür sistemler enerji tüketen sistemler, yani mekanik enerjinin kademeli olarak ısı olarak dağıldığı sistemler olarak tanımlanmaktadır. Türbülans, hareketlerinde rasgele, dönel bir bileşene sahip sıvılarda gözlenen oldukça düzensiz akış paternidir. Bu tür bir akışın şu anda tam olarak anlaşıldığı söylenemez; aslında, çağdaş fizikteki en zorlu problemlerden birini temsil eder.
Atmosferdeki çalkantılı konveksiyon, gezegenimizdeki hava durumlarından büyük ölçüde sorumludur. Bununla birlikte, bunlar o kadar karmaşıktır ki, önümüzdeki birkaç gün boyunca hava tahminini imkansız hale getirir. Kimya dünyasında, doğrusal olmayanlık ve geri bildirim sergileyen sistemlerde kaotik davranışların birçok örneği keşfedilmiştir, kayda değer bir örnek, Belousov-Zhabotinsky reaksiyonu gibi reaksiyonlardaki kimyasal salınımlara örnektir. Biyolojik alanda da benzer reaksiyonlar meydana gelir; örnek, her ikisi de kaos sergileyebilen glikoliz veya kalp atışı ile ilişkili salınımlı reaksiyonlardır. Aslında hayatın kendisi bir kaos denizinde bir istikrar adası olarak görülebilir. Dolayısıyla, dünyamızın “doğada gördüğümüz formların ve yapıların inanılmaz çeşitliliğinden ve zenginliğinden sorumlu olan istikrarsızlıkların ve dalgalanmaların bir dünyası” olarak karakterize edilmesi şaşırtıcı değildir.